Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2021/2022.

ANÁLISIS REAL Y CÁLCULO DE VARIACIONES - 606162

Curso Académico 2021-22

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
SI
Clases prácticas
SI
Trabajos de campo
NO
Prácticas clínicas
NO
Laboratorios
NO
Exposiciones
SI
Presentaciones
SI

Presenciales

3,3

No presenciales

4,2

Semestre

9

Breve descriptor:

El curso está dividido en dos partes. La primera parte se desarrolla  a lo largo de 7 semanas y esta dedicada a presentar algunos conceptos y tecnicas fundamentales del Analisis Real. La parte segunda  consta en total de  8 semanas y constituyen una introducción al Cálculo de Variaciones y sus aplicaciones, presentando el formalismo lagrangiano así como el formalismo hamiltoniano.
 
Los contenidos se expondran en clases teórico-prácticas. La carga docente será de 5 horas semanales,  de las cuales, en promedio, 3 se dedicarán a contenidos teóricos y 2 a contenidos prácticos. La metodología del curso fomentará la participación  de los alumnos, que podrán realizar presentaciones orales o escritas, así como prácticas y ejercicios. 
 
 

Requisitos

Muy recomendable haber cursado el curso de Teoria de la Medida del grado. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales son un marco de referencia obligada para la segunda parte.

Objetivos

 Introducir a los alumnos a las  tecnicas basicas del Analisis Real y del Calculo de Variaciones (como metodología casi universal en el tratamiento de moldelos matemáticos de la Física, Ingeneria, Economía y otras ciencias).

Contenido


PARTE 1 ( 35 HORAS) 
Profesor: Eva A. Gallardo

PROGRAMA
1. Repaso de Integracion en espacios de medida.  Teoremas de la convergencia monotona y lema de Fatou: consecuencias. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Medida con densidad. Medida Imagen. Medida e integracion en espacios producto : Teoremas de Fubini y de Fubini-Tonelli.Espacios Lp
2. Medidas con signo. Teorema de Radon- Nikodyma. Teorema de Lebesgue- Radon - Nikodym. Medidas complejas . Teorema de descomposicion de Hahn. Teorema de descomposicion de Jordan. Esperanza condicional. Proyeccion en media . Dualidad de espacios Lp. Espacios de Sobolev y funciones de variación acotada.
3. Teorema de representacion de Riesz. Funcionales lineales acotados en C(X). Medidas regulares y de Radon.
4. Medida de Haar  de grupos . Construccion de la medida de Haar. Propiedades.
5. Transformada de Fourier. Definicion y propiedades. Teorema de Plancherel. Aplicación a la demostración del Principio de Incertidumbre.





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PARTE 2 ( 40 HORAS )

Profesora D. Rosa Maria Pardo

PROGRAMA.

1.  Introducción. Principio de mínima acción. Ejemplos: superficie mínima de revolución. Braquistócrona. Introducción a la ecuación de Euler-Lagrange del Cálculo de Variaciones. Problemas variacionales en dimensión finita.
       
2.  Introducción a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Ecuaciones de Euler-Lagrange. Ecuaciones de Hamilton.
       
3.  Cálculo de variaciones para EDP. Primera variación, ecuación de Euler-Lagrange. Segunda variación.
       
4.  Existencia de minimizadores. Coercitividad, semicontinuidad inferior. Convexidad
       
5.  Soluciones débiles de la ecuación de Euler-Lagrange. Ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas de EDP. Existencia de minimizadores para sistemas de EDP.   
    
6.  Regularidad. Estimaciones para las segundas derivadas.
       
7.  Problemas variacionales con restricciones. Multiplicadores de Lagrange. Problemas de autovalores no-lineales. Formulación variacional de problemas elípticos semi-lineales. Formulación variacional del método de Perron: el método de sub- y super-soluciones. Restricciones unilaterales: desigualdades variacionales. Aplicaciones armónicas.
       
8.  Puntos críticos. Lema del paso de la Montaña. Aplicación a EDP semilineales.
    
9.  Sistemas de EDP. Lagrangianos nulos. Aplicación: Teorema del punto fijo de Browder.
       
10. Problemas variacionales invariantes. Teorema de Noether.
    
11. Resultados de no existencia de soluciones. Fenómenos de Explosión (Blow-up) en tiempo finito. Identidad de Pohozaev.

Evaluación

La evaluación cada parte se hara de la forma siguiente :

PARTE 1. Prueba escrita en la que se calificaran los aspectos conceptuales basicos adquiridos, la capacidad de analisis asi como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos . Se complementara con la participación del alumno en clase. En el caso de reducirse la presencialidad de la docencia en más de un 50% de las horas inicialmente previstas, la valoración de esta primera parte de la asignatura pasaría a ser:
- Prueba escrita: 20% del total
-Evaluación continua (con pruebas parciales y entregas): 80% del total.

PARTE 2. La evaluación de esta parte se realizará a partir de la calificación de un examen final escrito y una exposición oral. La asistencia y participación en clase así como el interés por la materia se tendrán en cuenta a la hora de asignar la calificación. En el caso de reducirse la presencialidad de la docencia en el 50% de las horas inicialmente previstas o más, la valoración de esta parte de la asignatura pasaría a ser:
- Prueba escrita: 30% del total
- Evaluación continua (con pruebas parciales y entregas): 70% del total.

Bibliografía

PARTE 1:

- D. L. Cohn. Measure Theory. Birkhauser (1980)
- S. Folland : Real Analysis. Wimbley
- S. Lang. Real and Functional Analysis. Third Edition, GTM 142, Springer (1993)
- W. Rudin. Real and Complex Analysis. , Third Edition, McGraw-Hill (1987)
- T. Tao. An Introduction to Measure Theory (Graduate Studies in Mathematics), (2011).
- M. E. Taylor. Measure Theory and Integration. GSM 76, American Mathematical Society (2006)

PARTE 2.
- Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010. ISBN 978-0-8218-4974-3.
- Irene Fonseca and Giovanni Leoni. Modern methods in the calculus of variations: L^p spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York, 2007. ISBN 978-0-387-35784-3.
- Mariano Giaquinta and Stefan Hildebrandt. Calculus of variations. I, volume 310 of Fundamental Principles of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin, 1996.a. ISBN 3-540-50625-X. The Lagrangian formalism.
- Mariano Giaquinta and Stefan Hildebrandt. Calculus of variations. II, volume 311 of Fundamental Principles of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin, 1996.b. ISBN 3-540-57961-3. The Hamiltonian formalism.
- Michael Struwe. Variational methods, volume~34 of A Series of Modern Surveys in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, fourth edition, 2008. ISBN 978-3-540-74012-4. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems.
- John L. Troutman. Variational calculus and optimal control. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1996. ISBN 0-387-94511-3.
- Frederick Y. M. Wan. Introduction to the calculus of variations and its applications. Chapman and Hall Mathematics Series. Chapman & Hall, New York, 1995. ISBN 0-412-05141-9.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único06/09/2021 - 17/12/2021LUNES 13:00 - 15:00115EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
MIÉRCOLES 09:00 - 10:00115EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
VIERNES 10:00 - 11:00115EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL