Familiarizarse con la teoría clásica de las ecuaciones en derivadas parciales. Identificar perfectamente las ecuaciones de Laplace, calor, ondas y transporte.

Introducción a la teoría espectral de operadores y la teoría de transformaciones integrales. Obtención y discusión de modelos matemáticos en ciencias naturales.

Resolver el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Resolver los problemas de Cauchy para las ecuaciones del calor y de las ondas. Utilizar, con fluidez, métodos espectrales para resolver problemas de contorno y valor inicial en dominios acotados. Caracterizar el comportamiento cualitativo de las soluciones de las ecuaciones de Laplace, del calor y de las ondas.

Dos horas semanales en promedio. Cubren un total de 1.2 créditos presenciales.

Durante los seminarios se abordará el estudio de cuestiones de naturaleza teórica por parte del alumnado, de la mano del profesor, para que los alumnos aprendan a plantearse problemas matemáticos y a resolverlos utilizando las herramientas técnicas disponibles. En total corresponden a este apartado 1.2 créditos presenciales.

60 horas presenciales.

2,4

3,6

1

Se explicará el papel central desempeñado por las ecuaciones en derivadas parciales en el avance de la Matemática, en particular, y de las ciencias físicas y de la vida, la economía y la ingeniería, en general. Los temas a desarrollar incluyen los siguientes: Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Problemas de Cauchy para las ecuaciones del calor y de las ondas. Problemas de contorno y valor inicial. Series y transformada de Fourier. Núcleos de Poisson y de Gauss.

Cálculo diferencial e integral de varias variables y conocimientos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Introducción a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales adoptando un punto de vista clásico con el objetivo de familiarizarse con ellas, aprendiendo a identificar las ecuaciones de Laplace, del calor y de las ondas y diferenciándolas por el comportamiento cualitativo de sus soluciones. El objetivo principal es que el alumnado comprenda la ingente cantidad de aplicaciones de las ecuaciones en derivadas parciales a la física, las ciencias de la vida y la ingeniería, así como la importante cantidad de resultados matemáticos abstractos que su estudio ha generado a lo largo del siglo XX hasta nuestros días, algunos de los cuales serán abordados en el curso.

1. Introducción general a las Ecuaciones en Derivadas Parciales.  
2. Introducción al Analisis de Fourier. Método de separacion de variables. Ejemplos y aplicaciones. 
3. Teoría del potencial clásico.  Ecuación de Laplace. Función de Green. Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace.Propiedades de valor medio. Principio del máximo. Teorema de     Poisson. Método de Perron. 
4.Transformadas integrales. Las Transformadas de Fourier y de Laplace.
5. Ecuaciones de ondas . Características. Fórmula de D´ Alembert. Medias esféricas. Ondas planas y espaciales. 
6. Ecuación del calor.Procesos de difusión. Modelos mesoscópicos y macroscópicos. Núcleo de Gauss.Propiedades fundamentales de las soluciones.

Se realizará a partir del examen final de la asignatura, complementado con la información que pueda ser obtenida sobre la participación activa de los alumnos en el curso. El examen final tendrá un peso no inferior al 60% de la nota final y el porcentaje correspondiente al resto de actividades evaluables no superará el 40% del total..

Referencias generales:

[1] F. John, Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 1, Springer, New York, 1982.
[2] R. T. Seeley. An Introduction to Fourier series and integrals. Dover, 2006
[3] H. F. Weinberger, A first course in partial differential equations, Dover, 1995 .

Textos complementarios

[4]D. Colton . An introduction to Partial Differential Equations, Dover 1988.
[5]L.C. Evans. Partial Differential Equations, MAS Graduate Studies in Mathematics, 1998.
[6] J. López-Gómez, Elementos de Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja, Pearson, Madrid 2001 (Matemáticas).
[7]P. Puig Adam. Ecuaciones Diferenciales. R. Puig editor ( varias ediciones )
[8]S. Salsa. Partial Differential Equations in Action : From Modelling to Theory. Springer Verlag Italia, 2008.

Ademas de los textos anteriores, en el desarrollo de cada curso se suministrará a los alumnos cuanta bibliografia adicional pueda resultarles de utilidad .