Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2021/2022.

TOPOLOGÍA DIFERENCIAL - 606161

Curso Académico 2021-22

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
Las propias de las Matemáticas: formulación rigurosa de conceptos y demostración de los resultados que correspondan a la materia que se estudia.
Transversales
Conocer las relaciones de la Topología Diferencial con otras áreas de las Matemáticas
Específicas
Conocer el cuerpo teórico de la materia.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
A lo largo del curso se irán exponiendo por parte de profesores y alumnos, bajo la supervisión de los primeros en todo caso, los contenidos de la asignatura, tal y cómo se desarrollan en el texto básico de referencia (véase la Bibliografía básica más abajo).
Clases prácticas
Parte de las sesiones se dedicarán a la exposición por parte de los alumnos de algunos temas del texto básico de referencia o de la bibliografía complementaria detallada más abajo en Otra información relevante.
Presentaciones
Durante todo el curso.

Presenciales

7,5

Breve descriptor:

Introducir las técnicas básicas de la Topología Diferencial, presentando también algunas aplicaciones señaladas de esas técnicas.

Requisitos

Haber superado, al menos, 240 créditos de un título de Grado en Matemáticas o equivalente. Es importante haber cursado un curso inicial de Variedades Diferenciables, o si se prefiere denominar así, de Cálculo en Variedades.

Objetivos

Adquirir los conocimientos esenciales de la Topología Diferencial: las nociones fundamentales, sus comportamiento y su utilidad para resolver problemas de Análisis, Geometría y Topología.

Contenido



I. Transversalidad
• Cálculo en variedades con borde (recordatorio).
• Difeotopías.
• Sumersiones.
• El concepto de Transversalidad.
• Teorema de Sard-Brown.
• Densidad de la transversalidad.
• Teorema de inmersión de Whitney.

II. Aproximación
• Fibrado normal y entornos tubulares.
• Aproximación diferenciable de aplicaciones continuas.
• Homotopía diferenciable.
• Aproximación y transversalidad.

III. Aplicaciones
• Teorema del punto fijo de Brouwer.
• Teorema de invarianza del dominio.
• Teorema de seoparación de Jordan-Brouwer.
• Teorema de Brouwer-Hopf.
• Teorema de la esfera despeinada de Brouwer.

Evaluación

70%: Trabajos o problemas entregados o presentados en clase.
30%: Cuestionario teórico on line (CV).
Si un alumno no puede asistir regularmente a clase, se arbitrará un método específico para que pueda estudiar la asignatura y ser evaluado de la misma.
En caso de ser necesario la docencia y la evaluación se adaptarán a lo que la situación sanitaria requiera.

Bibliografía

E. Outerelo, J. A. Rojo, J. M. Ruiz. Topología Diferencial, un curso de iniciación. Madrid: Sanz y Torres, 2020

Otra información relevante

Bibliografía complementaria:
[1] R. Abraham, J. Robbin: Transversal mappings and flows. New York: Benjamin, 1967.
[2] V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, Inc.1974.
[3] J.W. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint. Charlottesville: University Press of Virginia, 1965. Revised reprint en Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.
[4]J.W. Milnor: Differential topology: the Earle Raymond Hedrick Lectures. MAA, 1965.
http://www.math.stonybrook.edu/Videos/IMS/Differential_Topology/
[5] E. Outerelo, J.M. Ruiz: Mapping degree theory. Graduate Studies in Mathematics {\bf 108.} Providence, RI: AMS, 2009.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único06/09/2021 - 17/12/2021MARTES 14:00 - 15:00115JESUS MARIA RUIZ SANCHO
MIÉRCOLES 13:00 - 14:00115JESUS MARIA RUIZ SANCHO
MIÉRCOLES 14:00 - 15:00115JESUS MARIA RUIZ SANCHO
VIERNES 13:00 - 15:00115JAIME JORGE SANCHEZ GABITES