La metodología consistirá en clases teóricas y prácticas, acompañadas del trabajo personal del alumno en preparar exposiciones y resolver los ejercicios .

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En esta asignatura se introducirán algunos aspectos destacados de la teoría de Espacios de Banach. En concreto, se tratarán las siguienets nociones:

1. Los conceptos y particularidades de la convergencia  de series en espacios de Banach.

2. Introducción de estructuras fundamentales como sistemas básicos y sistemas bi-ortogonales, destacando las bases de Schauder incondicionales y simétricas.

3. Retículos de Banach . Estructuras ordenadas: ideales, bandas y  subreticulos.  Operadores positivos  y homomorfimos reticulares. 

4. Espacios funcioneales invariantes por reordenamiento.  Normas simétricas .  

5. Introducción a polinomios en espacios de Banach, incluyendo las estructuras algebraicas subyacientes y normas polinomiales.

6. Desigualdades polinomiales en espacios de Banach, dando algunos de los resultados fundamentales, junto con aplicaciones a distintas áreas de la matemática.

Es conveniente haber cursado la asignatura Análisis Funcional.

Comprender algunas nociones y conceptos destacados de la teoría de espacios de Banach. Se tratarán también algunos resultados relevantes en teoría de espacios  de Banach, y sobre todo, se hará hincapié en asimilar las técnicas usadas en los resultados seleccionados.

El contenido se puede agrupar en los siguientes temas:

1.  Bases y sucesiones básicas en espacios de Banach. Bases incondicionales y simétricas.
2. Espacios de Banach clásicos de sucesiones y de funciones.
3. Retículos de Banach  y operadores positivos.
4. Espacios invariantes por reordenamiento. Desigulades de Hardy-Litlewood. Normas  simétricas. El caso no simétrico.
5. Polinomios en espacios de Banach. Definición algebraica de polinomio, normas polinomiales, constantes de polarización.
6. Desigualdades polinomiales en espacios de Banach. Constantes incondicionales en espacios de polinomios, desigualdades de Bernstein-Markov y de Bohnenblust-Hille.

La evaluación se basará en la resolución de problemas y ejercicios propuestos por parte de los profesores de la asignatura, la realización de una presentación de un tema seleccionado y/o una prueba final relativa al contenido del programa.

[1] J. Diestel, Sequences and series in Banach Spaces, GTM 92, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[2] S. Dineen, Complex analysis on infinite-dimensional spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag London, Ltd., London, 1999.

[3] P. Hajek, V. Montesinos, J. Vanderwerff and V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, CMS Books in Math., Vol. 26, Springer, 2008.

[4] K. Hoffman, Banach spaces of analytic functions, Reprint of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1988.

[5] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, {\em Classical Banach Spaces, vol I, II, Springer-Verlag}, Berlin, 1977, 1979.

[6] P. Meyer-Nieberg. Banach lattices. Springer-Verlag 1991

[7] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza : Variable Lebesgue spaces. Birkhausser 2013