Saber identificar los posibles controles de un modelo, optimizar la respuesta de un sistema, identificar el comportamiento asintótico del estado de un sistema, su dependencia continua respecto de los datos y posiblemente el comportamiento caótico

Aplicación a problemas provenientes de la Física-Matemática y la Economía

Ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias

Aproximación numérica del estado de un sistema

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La asignatura es una introducción a la Teoría de control, al Análisis cualitativo de Sistemas Dinámicos, a la teoria de la bifurcación y al caos.

Ecuaciones Diferenciales ordinarias.
Nociones de Teoría de la medida

 Conocer los rudimentos de la moderna teoria de control y los sitemas dinamicos en especial los conceptos de controlabilidad, control óptimo y caos en sistemas dinámicos discretos. 

TEORÍA DE CONTROL:
0. Introducción
1. Controlabilidad y observabilidad de problemas lineales: Teoremas de Kalman
2. Controlabilidad de problemas no lineales. 
3. Controlabilidad de ecuaciones en derivadas parciales. 4. Ecuaciones en Derivadas Parciales de Primer Orden (de la Programación Dinámica)
5. Ecuación de Hamilton-Jacobi
6. Principio del Máximo de Pontryagin
7. Introducción a las ecuaciones estocásticas: filtro de Kalman                                                                                                            

SISTEMAS DINÁMICOS:
0. Introducción
1. Sistemas dinámicos lineales discretos y continuos. Caracterización del comportamiento asintótico de las soluciones mediante el espectro. 
2. Estudio de los puntos de equilibrio de un sistema dinámico. Estabilidad e inestabilidad vía linealización. Análisis local cerca de un punto de equilibrio. Teorema de Hartman-Grobman. Teorema de la variedad estable e inestable.
3. Técnicas globales. Sistemas gradiente. Funciones de Liapunov y Principio de Invarianza de Lasalle. Ejemplo: ondas viajeras para ecuaciones de reacción difusión. 
4. Orbitas periódicas. Ciclos límite. Sistemas bidimensionales. Teoría de Poincaré Bendixon. Estabilidad de órbitas periódicas.
5. Bifurcación de estados estacionarios y de órbitas periódicas. Teorema de bifurcación de Hopf. 
6. Caos. Definición y ejemplos. Dependencia sensible respecto a los datos iniciales. Transitividad. Sistemas caóticos unidimensionales. Semiconjugación y conjugación de sistemas dinámicos. Dinámica simbólica. El teorema de Sarkovsky. 
7. Introducción a los sistemas caóticos en dimensión mayor que 1. La ecuación de Lorenz

 

La asistencia y participación en clase así como el interés por la materia se tendrán en cuenta a la hora de asignar la calificación. La evaluación consistirá en resolver una colección de problemas propuestos por el profesor a lo largo del tiempo en que se imparten las clases y/o la redacción y posterior presentación de un trabajo sobre algún tema de la asignatura. Si es necesario se realizará un examen final.

Teoría de Control:
J.-M. Coron: Control and Nonlinearity, American Math. Soc., Providence, 2007
J.-P. Raymond, Optimal Control of Partial Differential Equations, Université Paul Sabatier, 2015.
E. Sontag. Mathematical control theory, Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.
Benton, S.H.: The Hamilton-Jacobi Equations: a Global Approach, Academic Press, 1977.
Fleming, W.H. and Rishel, R.W.: Deterministic and Stochastic Optimal Control, Springer, New York, 1975.
E. Trelat, Controle Optimal, Theorie et Applications, Springer, Paris, 2005
Evans, L.C. An introduction to stochastic differential equations, AMS, 2013
J. Yong and X.Y.Zhou, Stochastic Controls, Springer, New York, 1999
P.A. Ruymgaart and T.T. Song, Mathematics of Kalman-Bucy Filtering, Springer-Verlag, Berlin, 1988
M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman, Birkhauser, Boston, 2008

Sistemas Dinámicos:
R.L. Devaney. "An introduction to chaotic dynamical systems". Addison-Wesley Studies in Nonlinearity. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.
R.L. Devaney " A first course in chaotic dynamical systems", CRC Press. 1992
J.K. Hale and H. Kocak. "Dynamics and bifurcations", volume 3 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney. "Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos", volume 60 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). Elsevier/Academic Press, Amsterdam, second edition, 2004.
J. Palis, W. de Melo, ``Geometric Theory of Dynamical Systems", Springer Verlag 1982
Steven H. Strogatz, "Nonlinear Dynamics and Chaos". Studies in Nonlinearity. Westview Press. 1994

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

PARTE I
E.B. Lee and L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory, John Wiley and Sons, New York, 1967.
E.N. Barron, R. Jensen.: The Pontryagin Maximuum Principle for Dynamics Programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc., 298 (2), 635{641, 1986.
R. Bellman: Dynamic Programming, Princeton University Press, 1957.
P.L. Lions.: Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations, Pitman, 1982.


PARTE II

C. Fernandez Perez, J.M. Vegas Montaner. "Ecuaciones diferenciales II". Ediciones Piramide.
J. K. Hale. "Ordinary differential equations". Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Huntington, N.Y., second edition, 1980.
E. Ott. Chaos in dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2002.
S. Wiggins, Stephen. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, volume 2 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 2003.