Las propias de las Matemáticas: formulación rigurosa de conceptos y demostración de los resultados que correspondan a la materia que se estudia.

Conocer las relaciones de la Topología Diferencial con otras áreas de las Matemáticas

Conocer el cuerpo teórico de la materia.

A lo largo del curso se irán exponiendo por parte de profesores y alumnos, bajo la supervisión de los primeros en todo caso, los contenidos de la asignatura, tal y cómo se desarrollan en el texto básico de referencia (véase la Bibliografía básica más abajo).

Parte de las sesiones se dedicarán a la exposición por parte de los alumnos de algunos temas del texto básico de referencia o de la bibliografía complementaria detallada más abajo en Otra información relevante.

Durante todo el curso.

7,5

Introducir las técnicas básicas de la Topología Diferencial, presentando también algunas aplicaciones señaladas de esas técnicas.

Haber superado, al menos, 240 créditos de un título de Grado en Matemáticas o equivalente. Es importante haber cursado un curso inicial de Variedades Diferenciables, o si se prefiere denominar así, de Cálculo en Variedades.

Adquirir los conocimientos esenciales de la Topología Diferencial: las nociones fundamentales, sus comportamiento y su utilidad para resolver problemas de Análisis, Geometría y Topología.

I. Transversalidad
• Cálculo en variedades con borde (recordatorio).
• Difeotopías.
• Sumersiones.
• El concepto de Transversalidad.
• Teorema de Sard-Brown.
• Densidad de la transversalidad.
• Teorema de inmersión de Whitney.

II. Aproximación
• Fibrado normal y entornos tubulares.
• Aproximación diferenciable de aplicaciones continuas.
• Homotopía diferenciable.
• Aproximación y transversalidad.

III. Aplicaciones
• Teorema del punto fijo de Brouwer.
• Teorema de invarianza del dominio.
• Teorema de seoparación de Jordan-Brouwer.
• Teorema de Brouwer-Hopf.
• Teorema de la esfera despeinada de Brouwer.

El curso está diseñado para evaluar a los alumnos por las exposiciones que harán en las clases. Como complemento y de manera voluntaria, pueden entregar trabajos redactados por ellos sobre aspectos adicionales que no formen parte del programa previsto de la asignatura. Por otra parte, si un alumno no puede asistir regularmente a clase, se arbitrará un método específico para que pueda estudiar la asignatura y ser evaluado de la misma.

E. Outerelo, J. A. Rojo, J. M. Ruiz. Topología Diferencial, un curso de iniciación. Madrid: Sanz y Torres, 2020

Bibliografía complementaria:

R. Abraham, J. Robbin: Transversal mappings and flows. New York: Benjamin, 1967.

V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, Inc.1974.

J.W. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint. Charlottesville: University Press of Virginia, 1965. Revised reprint en Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.

J.W. Milnor: Differential topology: the Earle Raymond Hedrick Lectures. MAA, 1965.
http://www.math.stonybrook.edu/Videos/IMS/Differential_Topology/

E. Outerelo, J.M. Ruiz: Mapping degree theory. Graduate Studies in Mathematics {\bf 108.} Providence, RI: AMS, 2009.