Matemáticas

Grado y Doble Grado. Curso 2020/2021.

ANÁLISIS REAL - 800610

Curso Académico 2020-21

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
- Comprender los conceptos y manejar las técnicas básicas del Análisis Real. Comprender el lenguaje y conocer las demostraciones rigurosas de algunos teoremas del análisis matemático avanzado.
- Manejar las técnicas de la integración abstracta y la diferenciación.
- Manejar los espacios funcionales L^{p} y su dualidad, así como los operadores integrales clásicos.
- Comprender y manejar los fundamentos de la teoría de los espacios de Hilbert.
- Comprender los conceptos básicos de la teoría de operadores entre espacios de Hilbert y manejar los resultados fundamentales de la teoría espectral de operadores compactos en espacios de Hilbert.
- Conocer los fundamentos de la teoría de distribuciones. Comprender la necesidad y utilidad de la introducción de las distribuciones.
- Idear demostraciones de resultados del análisis real y resolver problemas en el área del análisis matemático y sus aplicaciones.
Transversales
Las materias de este curso es trasversal y tienen gran conexión con otras materias que se imparten en el Grado de Matemáticas. Especialmente con las asignaturas de Análisis Funcional , Ecuaciones en Derivadas Parciales, Análisis complejo y Procesos Estocásticos.


ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Dos sesiones de clase teórica a la semana donde se desarrolla la materia del curso con ejemplos y aplicaciones
Seminarios
Presentación por parte de los alumnos de algunos temas escogidos de la asignatura
Clases prácticas
Sesiones de resolución de ejercicios y problemas propuestos en las Hojas de problemas .
Otras actividades
Tutorías. Exposición de ejercicios y problemas resueltos por los alumnos .

Presenciales

6

Semestre

2

Breve descriptor:

Se desarrolla un curso de Analisis Real avanzado.  Incluye varios topicos clasicos: Medidas con signo. Continuidad absoluta de medidas: Teorema de Radon-Nikodym. Aplicaciones:  esperanza condicional.  Derivacipn de medidas e integrales en R^{n}. Funciones maximales. Funciones de variacion acotada y absolutamente continuas. Medidas regulares . Teorema de representacion de Radon-Riesz .Operadores integrales y de  convolucion. Espacios de Hilbert   Teoria espectral de operadores compactos y simetricos en espacios de Hilbert. Introduccion a la  teoria de distribuciones.
 
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Requisitos

Es muy recomendable el haber cursado previamente la asignatura del grado de matemáticas "Teoria de la Medida", .

Objetivos

- Desarrollar los conceptos y tecnicas basicas de la integracion abstracta, incluyendo las medidas absolutamente continuas y la diferenciacion de medidas. - Estudiar los espacios funcionales L^{p} y su dualidad, asi como los operadores integrales clasicos. - Estudiar los fundamentos de la teoria de los espacios de Hilbert. - Presentar la teoria espectral de operadores compactos en espacios de Hilbert.b. - Dar  una introduccion a la teoria de las distribuciones.
 
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Contenido

- Repaso de la integracion abstracta.
- Medidas con signo. Continuidad absoluta. Teorema de Radon-Nikodym.
- Funcion maximal de Hardy-Litlewood. Derivacion de medidas e integrales en R^{n}. Teorema de Lebesgue. Puntos de densidad.
- Funciones de variacion acotada. Funciones absolutamente continuas.
- Espacios L^{p}. Desigualdades y Dualidad.
- Operadores integrales. Convolucion.
 -Medidias  regulares. Teorema de representacion de Radon-Riesz. Espacios C(K). Teorema de Korovkin.
- Espacios de Hilbert . Ortogonalidad. Bases Hilbertianas.Series de Fourier.
- Teoria espectral de operadores compactosen espacios de Hilbert.
- Introduccion a la teoria de distribuciones.
 
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Evaluación

La NOTA FINAL del curso estará formada por:

- 30% evaluacion continua del curso ( hojas de problemas , exposiciones y participación en clase, controles..)
- 70% nota del examen final de la asignatura.

Bibliografía

.-COHN: Measure theory. Birkhauser 1992
- FOLLAND: Real Analysis. Second edition , Wiley Interscience 1999

Complementaria:

- ALIPRANTIS, BURKINSAHW: Principle of Real Analysis. Academic press 2003
.-CAROTHERS : Real Analysis. Cambridge University Press 2000
.- BREZIS: Análisis Funcional. Alianza Editorial, 1986.
.- LIEB y LOSS: Analysis, second edition. AMS, 2001
- RUDIN : Real and complex analysis. Tercera edición, McGraw-Hill 1988.

Estructura

MódulosMaterias
CONTENIDOS AVANZADOS EN MATEMÁTICAS PURA Y APLICADA IIANÁLISIS REAL

Grupos

Clases teóricas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único15/02/2021 - 28/05/2021LUNES 10:00 - 11:00B13FRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ
JUEVES 10:00 - 11:00B07FRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ


Clases prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único15/02/2021 - 28/05/2021MIÉRCOLES 10:00 - 11:00B06FRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ
JUEVES 11:00 - 12:00B07FRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ