Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

TEORÍA DE LA MEDIDA - 606175

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
Idear demostraciones de resultados del área de análisis matemático.
Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, relacionarlos con otros conocidos y deducir sus propiedades.
Específicas
Formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmar o rehusar estas conjeturas.
Manejar con soltura las operaciones y procesos con integrales.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Si
Clases prácticas
Si
Trabajos de campo
NO
Prácticas clínicas
No
Laboratorios
NO
Exposiciones
NO
Presentaciones
NO

Presenciales

7,5

Semestre

1

Breve descriptor:

El curso es una introducción a la teoría de la medida. En el se presentan los conceptos básicos de medida y función medible en un contexto abstracto pero prestando especial atención a la medida de Lebesgue en R y Rn.

Requisitos

No hay

Objetivos

 Comprender los conceptos básicos de la teoría de la medida y su necesidad.
Entender el concepto de medida en Rn  y su proceso de construcción. 
Comprender el lenguaje y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de análisis matemático avanzado. 
 

Contenido

  • 1.- MEDIDAS. 
    1.1.-álgebras. Medidas exteriores. Procedimiento de Caratheodory. 1.2. Medidas completas. Medidas exteriores métricas. 1.3. La medida de Lebesgue en Rn. Regularidad de la medida de Lebesgue.
    2.- INTEGRACIÓN.
    2.1. Funciones medibles. Propiedades en casi todo punto. 2.2. Funciones integrables. Teoremas de convergencia. 2.3. Medidas producto. Teoremas de Tonelli y Fubini. 2.4. Tipos de convergencia. Teorema de Egoroff.
    3.- INTEGRAL DE LEBESGUE EN Rn
    . 3.1. Producto de medidas de Lebesgue. 3.2. Integral de Lebesgue. Su relación con la integral de Riemann. 3.3. Derivación bajo el signo integral. 3.4. Aproximación de funciones medibles. Teorema de Lusin. 3.5. Teorema del cambio de variable. 3.6. Derivación e integración. Funciones absolutamente continuas.
    4.- ESPACIOS Lp
     4.1. Desigualdades de Hölder y Minkowski. 4.2. Completitud de los espacios Lp. 4.3. Medidas con signo. Teorema de Radon-Nikodym. 4.4. Dualidad. Teorema de representación de Riesz. 4.5. Convolución. Aproximación de funciones integrables
    Nota. El capítulo 4 tendrá carácter complementario y no se desarrollará en las clases ordinarias. Podrá ser utilizado como complemento para trabajos asignados a los alumnos más destacados.
     

Evaluación

Se realizará un examen final que estará integrado por dos partes, una práctica a la que se le asignarán 6 puntos, y otra teórica a la que se le asignarán 4 puntos. La nota de dicho examen final se obtendrá al sumar ambas calificaciones siempre y cuando se obtenga al menos 2 puntos de los 6 asignados a la parte práctica. En otro caso la calificación del examen final ,de suspenso, se obtendrá pasando a escala 0-10 la nota obtenida en escala 0-6 en dicha parte práctica.
La calificación definitiva será la nota obtenida en el examen final, nota que podrá ser incrementada por el Profesor teniendo en cuenta el grado de participación del alumno en el desarrollo de la asignatura a lo largo del curso.

Bibliografía

CERDÀ J. "Análisis Real". Ed. Universidad de Barcelona. 2000. COHN D. L. "Measure Theory". Birkhäuser. 1993. DE BARRA G. "Introduction to Measure Theory". Van Nostrand.1981. FOLLAND G. B. "Real Analysis". John Wiley. 1999.
FRIEDMAN A. "Foundations of Modern Analysis". Dover. 1982. ROYDEN H.L. "Real Analysis". Macmillan. 1988. SMITH, K.T. "Primer of Modern Analysis". Springer. 1983. WHEEDEN R. - ZYGMUND A. "Measure and Integral". Marcel Dekker.1977

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo U10/09/2018 - 20/12/2018LUNES 09:00 - 10:00B16JAVIER GOMEZ GIL
MIÉRCOLES 11:00 - 13:00B13JAVIER GOMEZ GIL
JUEVES 09:00 - 10:00B16JAVIER GOMEZ GIL