Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

CURVAS ALGEBRAICAS - 606173

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
- Manejar con soltura los criterios de irreducibilidad de polinomios.
- Calcular los puntos singulares, tangentes, puntos de inflexión y asíntotas de una curva algebraica.
- Calcular el índice de intersección de dos curvas en un punto.
- Manejar con destreza los sistemas lineales de curvas.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Consistirán en clases magistrales del profesor, exponiendo en la pizarra los conceptos, resultados, demostraciones y ejemplos de la materia. De dos a tres horas por semana.
Clases prácticas
Consistirán en la resolución en la pizarra, por parte de los alumnos, de los ejercicios previamente indicados por el profesor, y que se distribuirán entre los alumnos o grupos de alumnos. De una a dos horas por semana.
TOTAL
Cuatro horas de clase semanales

Presenciales

4

Semestre

1

Breve descriptor:

Teoría de las curvas algebraicas planas, afines y proyectivas. Introducción a conceptos en dimensión superior.

Requisitos

Conocimientos básicos de Álgebra (en particular de anillos de polinomios) y Geometría Afín y Proyectiva.

Objetivos

Introducir al alumno en la teoría básica de las curvas algebraicas planas, tanto afines como proyectivas. Presentar las nociones básicas de cómo generalizar estos conceptos en dimensión superior.

Contenido

1) Ecuaciones implícitas de curvas planas (afines y proyectivas). Intersección de curvas usando resultantes. Lema de Study.
2) Sistemas lineales de curvas. Haces de cónicas y cúbicas.
3) Curvas parametrizadas. Paso a implícitas.
4) Estudio local de puntos: intersección con una recta en un punto; cono tangente; puntos regulares y singulares; puntos de inflexión.
5) Teorema de Bézout. Curvas polares. Fórmulas de Plücker.
6) Curvas racionales. Estructura de grupo de la cúbica. Género de una curva.
7) Introducción a la geometría en dimensión superior. Ejemplos (aplicaciones de Segre y Veronese,...). Introducción a las nociones de dimensión, lisitud y grado.

Evaluación

Se valorará que el alumno haya adquirido los competencias mínimas de la asignatura. Por tanto, tal valoración se podrá realizar hasta el último momento en el examen final, si bien una participación buena en clase, especialmente a la hora de resolver ejercicios en la pizarra, puede ayudar a mejorar la calificación global y, en casos realmente excepcionales, puede sustituir la necesidad de presentarse al examen.

Bibliografía

-G. Fischer, Plane Algebraic Curves, Students Math. Lib. AMS, 2001.
-G.G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge Univ. Press, 1998.
-W. Fulton, Curvas Algebraicas, Ed. Reverté, 1971.
-M.J. de la Puente, Curvas Algebraicas Planas, Serv. Publ. Univ. Cádiz, 2007.
-R.J. Walker, Algebraic Curves, Springer-Verlag, 1978 (reimpreso de la edición de Princeton, 1950).

Otra información relevante

La docencia se imparte con la de la asignatura optativa del mismo nombre del cuarto curso del Grado en Matemáticas.
Información sobre la asignatura (como apuntes y hojas de problemas) se irá actualizando en http://www.mat.ucm.es/~arrondo/curvas.html.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo U10/09/2018 - 20/12/2018MARTES 09:00 - 10:00B16ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN
MIÉRCOLES 09:00 - 10:00B16ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN
JUEVES 11:00 - 12:00B13ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN
VIERNES 09:00 - 10:00B16ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN