Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

MÉTODOS AVANZADOS DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA - 606170

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
Saber distinguir propiedades globales y locales de un grupo topológico o de Lie. Obtener información estructural a partir de las propiedades de una representación lineal. Determinar los invariantes principales de grupos de Lie.

ACTIVIDADES DOCENTES

Presenciales

5

No presenciales

0

Semestre

2

Breve descriptor:

Se pretende introducir al alumno en los conceptos fundamentales de la teoría de grupos topológicos y de Lie, así como las representaciones lineales asociadas a los mismos. El enfoque elegido es fundamentalmente geométrico, con el fin de ilustrar la importancia de los grupos de transformaciones.

Requisitos

Topología general. Variedades diferenciables, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias. Es conveniente tener nociones de mecánica analítica.

Objetivos

Distribuciones en variedades. Teorema de Frobenius. Grupos de matrices. Análisis de los grupos de Lie clásicos. Relación con las álgebras de Lie complejas y reales. Introducción a la teoría de representaciones lineales.

Contenido

1. Distribuciones en variedades diferenciables. Distribuciones involutivas e integrabilidad. Teorema de Frobenius. Variedades integrales. 2. Grupos de Lie de transformaciones lineales. Construcción de los grupos clásicos. Intersección de grupos. Subgrupos de Lie cerrados e inmersos. 3. Algebra de Lie de un grupo de Lie. Algebras de Lie matriciales. Propiedades. Tensor de estructura. Forma de Killing. Grupos resolubles y nilpotentes. 4. Subálgebras e ideales. Teorema de Ado. La aplicación exponencial. Teoremas de Lie. Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. 5. Algebras de Lie semisimples. Caracterización. Subálgebras de Cartan. Descomposición de Weyl. Algebras de Lie simples. 6. Problema de clasificación. Sistemas de raíces. Matriz de Cartan y diagrama de Dynkin. Grupo de Weyl. 7. Representaciones lineales de álgebras de Lie. Representaciones de su(2). Sistemas de pesos. Representaciones fundamentales. 8. Representaciones tensoriales y espinorales. Indice de una representación. Operadores de Casimir. Inducción y subducción de representaciones.

Evaluación

Se distribuirán hojas de problemas cuya resolución adecuada, añadida a una participación activa en clase y la posible exposición oral de algún tema, podrán eximir al alumno del examen final, si bien éste se ofrecerá para fijar o subir la calicación.

Bibliografía

L. P. Eisenhart. Continuous Groups of Transformations, Luther Press, 2007.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course. Springer, 2004.

N. Jacobson. Lie Algebras, Dover, 1962.

D. Montgomery, L. Zippin. Topological Transformation Groups, Interscience Publishers, 1967.

D. H. Sattinger, O. L. O’Weaver. Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry and Mechanics, Springer, 1986

J. P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes, W. A. Benjamin, 1966.

D. P. Zhelobenko. Compact Lie Groups and their Representations, Amer. Math. Soc. 1973

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo U29/01/2019 - 11/04/2019LUNES 09:00 - 11:00B08AOTTO-RUDWIG CAMPOAMOR STURSBERG
MIÉRCOLES 10:00 - 11:00B08AOTTO-RUDWIG CAMPOAMOR STURSBERG
VIERNES 09:00 - 11:00B08AOTTO-RUDWIG CAMPOAMOR STURSBERG