Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

ANÁLISIS NO LINEAL. TEORÍA DEL GRADO. BIFURCACIÓN - 606166

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Específicas
Dominar el uso del grado de Brouwer y manejar el de Leray-Schauder.
Dominar el uso del grado para obtener resultados de bifurcación global.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
40 clases teóricas en total
Clases prácticas
10 clases prácticas que se utilizan para algunas de las exposiciones orales de los alumnos o para problemas.
Exposiciones
Cada alumno debe efectuar algunas exposiciones de carácter teórico o práctico en la pizarra.
TOTAL
50 horas lectivas

Presenciales

5

Semestre

2

Breve descriptor:

Grado de Brouwer. Grado de Leray-Schauder. Aplicaciones topológicas. Teoría local de bifurcación. Autovalores no lineales. Teoría global de bifurcación. Cómputo del grado topológico.

Requisitos

Haber cursado alguna licenciatura de Matemáticas

Objetivos

El objetivo principal es la construcción del grado topológico de Brouwer-Leray-Schauder y la demostración de sus propiedades fundamentales, como la invariancia por homotopía generalizada, que permiten utilizarlo posteriormente para estudiar la estructura de las componentes acotadas del conjunto de soluciones de las ecuaciones no lineales de punto fijo relativas a operadores compactos y para caracterizar los autovalores no lineales en problemas de bifurcación por medio de la multiplicidad algebraica generalizada de autovalores. El grado topológico es una de las herramientas matemáticas más importantes que ha alumbrado el Análisis no Lineal el siglo pasado. Sus aplicaciones son extraordinariamente variadas, cubriendo no sólo amplias parcelas de las propias ciencias matemáticas, como la teoría de juegos, la topología, el álgebra, el análisis, en general, y la ecuaciones en derivadas parciales no lineales, en particular, sino otras disciplinas científicas como la economía, la ecología, la física, la química, la bioquímica, y la propia ingeniería.

Contenido

PARTE I: GRADO TOPOLÓGICO 1.- Preliminares de topología diferencial. Teorema de Sard. 2.- Construcción del grado topológico de Brouwer: Versión diferenciable. Idea de la construcción con técnicas de topología algebraica. 3.- Propiedades fundamentales del grado. Consecuencias: algunos teoremas topológicos clásicos. 4.-Teorema de unicidad de Amann y Weiss. 5.- Campos vectoriales. Característica de Euler. Teorema de Poincaré-Hopf. 6.- Grado de Leray-Schauder: Construcción y propiedades básicas. PARTE II: TEORÍA DE BIFURCACIÓN 7.- Teoría global de bifurcación. Comportamiento global de componentes semi-acotadas de ecuaciones de punto fijo para operadores compactos. Alternativa global de P. H. Rabinowitz. 8.- Signatura y complejidad minimal de componentes en el contexto de la teoría de bifurcación global. 9.- Autovalores no lineales. Bifurcación desde autovalores simples. Reducciones de Lyapunov-Schmidt. 10.- Caracterización de autovalores no lineales para familias de operadores transversales. 11.- Caracterización de autovalores no lineales para familias de operadores de tipo algebraico. Caso analítico. 12.- Cómputo algebraico-analítico del grado topológico local. Axiomatización de la multiplicidad algebraica.

Evaluación

Asistencia a las clases y nivel de conocimientos mostrados en las exposiciones orales.

Bibliografía

R. Brown, A topological introduction to nonlinear analysis, Birhäuser, Boston (1993).

K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1985).

J. Jezierski, W. Marzantowicz, Homotopy methods in topological fixed and periodic points theory, Netherlands (2006).

J. López-Gómez, Spectral Theory and Nonlinear Functional Analysis, Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics 426, Boca Raton 2001.

J. López-Gómez y C. Mora-Corral, Algebraic Multiplicity of Eigenvalues of Linear Operators, Operator Theory, Advances and Applications vol. 177, Birhäuser 2007.

J.W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. University Press of Virginia, 1965.

E. Outerelo, J. Ruiz, Mapping degree theory, Graduate Studies in Math. Vol, 108. AMS-RSME (2009).

Otra información relevante

Salvo imperativo, es obligatoria la asistencia a clase.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo U29/01/2019 - 11/04/2019LUNES 11:00 - 12:00B08AJOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO
JULIAN LOPEZ GOMEZ
MARTES 12:00 - 13:00B08AJOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO
JULIAN LOPEZ GOMEZ
MIÉRCOLES 11:00 - 13:00B08AJOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO
JULIAN LOPEZ GOMEZ
JUEVES 11:00 - 12:00B08AJOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO
JULIAN LOPEZ GOMEZ