Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

ANÁLISIS REAL Y CÁLCULO DE VARIACIONES - 606162

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
SI
Clases prácticas
SI
Trabajos de campo
NO
Prácticas clínicas
NO
Laboratorios
NO
Exposiciones
SI
Presentaciones
SI
Otras actividades
.

Presenciales

3,3

No presenciales

4,2

Semestre

9

Breve descriptor:

El curso está dividido en dos partes. La primera parte se desarrollara  a lo largo de 7 semanas y esta dedicada a presentar algunos conceptos y tecnicas fundamentales del Analisis Real.La partes segunda y tercera constaran en total de  8 semanas y constituyen una introducción al Cálculo de Variaciones y sus aplicaciones, presentando el formalismo lagrangiano así como el formalismo hamiltoniano.

Los contenidos se expondran en clases teórico-prácticas. La carga docente será de 5 horas semanales,  de las cuales, en promedio, 3 se dedicarán a contenidos teóricos y 2 a contenidos prácticos. La metodología del curso fomentará la participación  de los alumnos, que podrán realizar presentaciones orales o escritas, así como prácticas y ejercicios. 
 
 

Requisitos

Muy recomendable haber cursado el curso de Teoria de la Medida del grado.

Objetivos

  Introducir a los alumnos a las  tecnicas basicas del Analisis Real y del Calculo de Variaciones.

Contenido


PARTE 1 ( 35 HORAS) 
Profesor Francisco Luis  Hernandez Rodriguez  

PROGRAMA
1. Repaso de Integracion en espacios de medida.  Teoremas de la convergencia monotona y lema de Fatou: consecuencias. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Medida con densidad. Medida Imagen. Medida e integracion en espacios producto : Teoremas de Fubini y de Fubini-Tonelli.Espacios Lp
2. Medidas con signo. Teorema de Radon- Nikodyma. Teorema de Lebesgue- Radon - Nikodym. Medidas complejas . Teorema de descomposicion de Hahn. Teorema de descomposicion de Jordan. Esperanza condicional. Proyeccion en media . Dualidad de espacios Lp. 
3. Teorema de representacion de Riesz. Funcionales lineales acotados en C(X). Medidas regulares y de Radon.
4. Medida de Haar  de grupos . Construccion de la medida de Haar. Propiedades.
5. Transformada de Fourier. Definicion y propiedades. Teorema de Plancherel.
6 .Reordenamiento de funciones. Desigualdades de Hardy-Litlewood. Aplicaciones.


PARTE 2 ( 20 HORAS )
Profesor  D. Rosa Maria Pardo

PROGRAMA.

1. Introduccion. Ejemplos, citas y motivacion. Principio de minima accion. Ejemplos : superficie minima  de revolucion. Braquistocrona.
2. Puntos criticos de funcionales. Problemas en dimension finita. Problemas en dimension infinita.
3. Integrales variacionales. Introduccion a las integrales variacionales. Primera variacion de las integrales variacionales. Ecuacion debil de Euler-lagrange. Ejemplos. Casos especiales. Condiciones de contorno naturales.
4. Problemas variacionales con restricciones isoperimetricas. Formulacion de problemas isoperimetricos generales. Multiplicadores de Lagrange. Resolucion de problemas isoperimetricos.
5. Principios variacionales en Mecanica. Integral de accion. Principio de Hamilton: coordenadas generalizadas. La energia tota .Ecuaciones canonicas. Integrales de movimiento en casos especiales.


PARTE 3 ( 20 HORAS) : ESTABILIDAD DE LA MATERIA.
Profesor D. Miguel Angel Herrero García

PROGRAMA

1. El problema de la estabilidad de la materia. Fuerzas fundamentales. Formulacion del principio de minima accion.
2. Funcional de accion. Lagrangiano de un sistema: ejemplos. Coordenadas y momentos generalizados. Simetrias y leyes de conservacion: Teorema de Noether. Ecuaciones de Hamilton. Campos electricos y magneticos.
3. Estabilidad del sistema solar: el problema de los N cuerpos. Caso particular : problema de dos cuerpos. Leyes de Kepler. Deteccion de materia oscura.
4. Propagacion de la luz. Principio de Fermat. Principio de Huygens.
5. Modelo atomico de Bohr. Calculo de niveles de energia . Inestabilidad del modelo de Bohr . Estimacion del tiempo de colapso..
6. Oscilador armonico cuantico. modelo de Schroedinger. Accion y ecuacion de Hamilton -Jacobi. Funcional de energia. Reduccion a un proble a de autovalores.
7. Metodos directos en el Calculo de Variaciones. semicontinuidad inferior. Topolgias debiles. Espacios de Sobolev. Ejemplos y Aplicaciones. Teorema de Tonelli.


Evaluación

La evaluación cada parte se hara de la forma siguiente :

PARTE 1. Prueba escrita en la que se calificaran los aspectos conceptuales basicos adquiridos, la capacidad de analisis asi como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos . Se complementara con la participación del alumno en clase.
PARTE 2. Se basara en la entrega de trabajos por parte de los alumnos. Para aquellos casos en los que el profesor lo considere oportuno, se hara tambien un examen final.
PARTE 3. Se realizara a partir de la calificacion de un examen final de esta parte, complementada con cuanta informacion sea posible recabar sobre las actividades de los aluymnos durante el curso ( resolucion individual de problemas propuestos por el profesor, discusion de cuestiones planteadas en clase, etc ).

Bibliografía

PARTE 1:

D. L. Cohn. Measure Theory. Birkhauser (1980)
S. Folland : Real Analysis. Wimbley
S. Lang. Real and Functional Analysis. Third Edition, GTM 142, Springer (1993)
W. Rudin . Real and Complex Analysis. , Third Edition, McGraw-Hill (1987)
M. E. Taylor. Measure Theory and Integration. GSM 76, American Mathematical Society (2006)


PARTE 2

M. Giacquinta and S. Hildebrandt. Calculus of variations ( dos volumenes ). Springer (199)
J. L. Troutman. Variational Calculus and Optimal Control. Springer (1996)
F.Y.M. Wan. Introduction to the Calculus of Variations and its applications. Chapman and Hall ( 1993).


PARTE 3.

E. Lieb and H. Seiringer. The satbility of matter in Quantum Mechanics. Cambridge University Press (2009)
H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev spaces and Partial differential Equations. Springer (2011)
L.D. Landau y E. M. Lifshitz. Mecanica ( volumen 1 del curso de Fisica Teorica ) . Ed. Reverte, varias ediciones.
L. Suskind and G. Hrabovsky. Classical Mechanics. Penguin (2013).








Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo U10/09/2018 - 12/10/2018LUNES 11:00 - 13:00B08AFRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ
MIGUEL ANGEL HERRERO GARCIA
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
MIÉRCOLES 11:00 - 13:00B08AFRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ
MIGUEL ANGEL HERRERO GARCIA
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
VIERNES 11:00 - 12:00B08AFRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ
MIGUEL ANGEL HERRERO GARCIA
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
15/10/2018 - 20/12/2018LUNES 09:00 - 11:00B08A
MIÉRCOLES 09:00 - 11:00B08A
VIERNES 10:00 - 11:00B08AFRANCISCO LUIS HERNANDEZ RODRIGUEZ
MIGUEL ANGEL HERRERO GARCIA
ROSA MARIA PARDO SAN GIL