Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

GEOMETRÍA DE SUPERFICIES TOPOLÓGICAS - 606160

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
Profundizar en conocimientos de topología algebraica, topología diferencial, geometría diferencial, variable compleja, geometría
algebraica y análisis matemático en variedades.
Transversales
Se aúnan conocimientos y técnicas de la geometría, la topología, el álgebra, la variable compleja y el análisis matemático.
Específicas
Topología algebraica (grupo fundamental, homología y cohomología), Geometría diferencial (geometría riemanniana, geometría
compleja, flujo de la curvatura), Geometría algebraica (curvas complejas).

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Impartidas por el profesor.
Clases prácticas
Se propondrán ejercicios que han de ser resueltos por los alumnos. Aquellos que presenten dificultad serán resueltos en las clases prácticas.
Trabajos de campo
N/A
Prácticas clínicas
N/A
Laboratorios
N/A
Exposiciones
Exposicion de un trabajo de fin de curso por parte de los alumnos desarrollado de forma individual.
Presentaciones
N/A
Otras actividades
N/A

Presenciales

7,5

Semestre

1

Breve descriptor:

Estudio de las variedades diferenciables centrado en el caso de las superficies

Requisitos

Grado en Matemáticas.

Objetivos

Con el objetivo de estudiar y clasificar las variedades, hacemos un análisis interdisciplinar de éstas con técnicas de topología, geometría diferencial, geometría riemanniana, geometría compleja y geometría algebraica. Lo haremos a través del estudio de las variedades de dimensión 2, las superficies, pero con constantes menciones al caso de dimensión superior.

Contenido

- Superficies topológicas: Clasificación de superficies compactas.
- Propiedades topológicas: Grupo fundamental, Recubrimientos ramificados, Homología.
- Geometría riemanniana: Teorema de Gauss-Bonnet. Variedades homogéneas, simétricas e isotrópicas.
- Métricas de curvatura constante: Formas espaciales. Grupos de isometrías. Geometría elíptica, euclídea e hiperbólica.
- Geometría compleja: Variedades complejas. Estructuras conformes. Curvas complejas.
- Uniformización: Flujo de la curvatura. Existencia de métricas de curvatura constante en superficies.

Evaluación

La calificación global tendrá en cuenta los siguientes aspectos:
- Los ejercicios resueltos por los alumnos y entregados al profesor a lo largo del curso.
- Trabajo de fin de curso desarrollado por cada alumno sobre un tema relacionado con la asignatura.
- Participación en clase, y exposición del trabajo de fin de curso.

Bibliografía

• M.P. Do Carmo, Geometría Riemanniana, 2ª edición, Birkhäuser, 1988.
• B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, 1983.
• F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, London Mathematical Society, Student Texts 23, Cambridge, 1992.
• W.S. Massey, A basic course in algebraic topology. Graduate Texts in Math, 127. Springer-Verlag, 1991.
• V. Muñoz, Cien años de la Conjetura de Poincaré, La Gaceta de la RSME, Vol. 7 (2004) 629-653.
• R. Bott, L.W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Math, 82. Springer-Verlag, 1982.
• I. Madsen, J.Tornehave, From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes, Cambridge University Press, 1997.
• V. Muñoz y J. Madrigal, Topologia Algebraica, Sanz y Torres, 2015.

Otra información relevante

http://www.mat.ucm.es/~vmunozve/master.html

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único10/09/2018 - 20/12/2018MARTES 09:00 - 11:00B08AGIOVANNI BAZZONI
MARCO CASTRILLON LOPEZ
JUEVES 09:00 - 11:00B08AGIOVANNI BAZZONI
MARCO CASTRILLON LOPEZ
VIERNES 09:00 - 10:00B08AGIOVANNI BAZZONI
MARCO CASTRILLON LOPEZ