Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2018/2019.

GEOMETRÍA ALGEBRAICA - 606159

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
En las clases teóricas (de tres a cuatro horas por semana) se irá desarrollando de forma paralela la teoría de variedades algebraicas (tanto inmersas como abstractas) junto a la teoría de esquemas, haciendo más énfasis en una u otra parte según la formación previa de los alumnos.
Clases prácticas
Las clases prácticas (de una a dos horas por semana) consistirá en la resolución por parte de los alumnos de los ejercicios propuestos.
TOTAL
5 horas de clase a la semana

Presenciales

7,5

Semestre

1

Breve descriptor:

Se trata de un curso de Geometría Algebraica moderna, en el que, empezando desde la noción de conjunto algebraico, se pretende llegar a las técnicas más avanzadas, como teoría de esquemas, cohomología de haces, dualidad de Serre y teorema de Rieman-Roch. El enfoque será sobre todo a base de ejemplos, más que de pura teoría y demostración.-

Requisitos

Es recomendable tener hecho algún curso previo de Álgebra Conmutativa y de Geometría Algebraica (aunque sea sólo uno de Curvas Algebraicas)

Objetivos

-Familiaridad con el cálculo de ideales y resoluciones de conjuntos algebraicos.
-Comprensión y manejo con soltura de la noción de esquema.
-Cálculo de invariantes de esquemas (dimensión, grado, polinomio de Hilbert,...).
-Familiaridad con la relación entre divisores y fibrados lineales, con especial énfasis en el caso de curvas.

Contenido

1) Conjuntos afines y proyectivos. Introducción a la noción de variedad abstracta y esquema.
2) Descomposición en componentes irreducibles.
3) Morfismos de variedades y esquemas.
4) Variedades y esquemas proyectivos. Eliminación. Módulos graduados.
5) Haces de módulos y fibrados vectoriales.
6) Estudio local de puntos. Teoría de la dimensión.
7) Divisores, fibrados lineales y morfismos al espacio proyectivo.
8) Cohomología de haces.
9) Introducción a los grandes teoremas (dualidad de Serre, Riemann-Roch,...).
10) Teoría de curvas.

Evaluación

La participación en clase (y alguna posible exposición oral) puede ser suficiente en algunos casos para la calificación final, aunque en todo caso habrá un examen final para fijar o subir la calificación.

Bibliografía

-E. Arrondo, Introduction to projective varieties, notas del profesor disponibles online en http://www.mat.ucm.es/arrondo/projvar.pdf
-J. Harris, Algebraic Geometry: a first course, Springer-Verlag 1992.
-R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52 Springer-Verlag 1977.
-I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, vol. 1, 2, Springer-Verlag 1994.

Otra información relevante

Información sobre la asignatura, como hojas de problemas y apuntes, podrá encontrarse en la página http://www.mat.ucm.es/~arrondo/geoalg.html

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único10/09/2018 - 20/12/2018LUNES 13:00 - 15:00B08AENRIQUE ARRONDO ESTEBAN
MARTES 13:00 - 14:00B08AENRIQUE ARRONDO ESTEBAN
JUEVES 13:00 - 14:00B08AENRIQUE ARRONDO ESTEBAN
JUEVES 14:00 - 15:00B08AENRIQUE ARRONDO ESTEBAN