Matemáticas

Grado y Doble Grado. Curso 2018/2019.

ANÁLISIS REAL - 800610

Curso Académico 2018-19

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
- Comprender y manejar los conceptos y técnicas básicas del análisis real. Comprender el lenguaje y conocer las demostraciones rigurosas de algunos teoremas del análisis matemático avanzado.
- Manejar las técnicas de la integración abstracta, incluyendo la diferenciación.
- Manejar los espacios funcionales L^{p} y su dualidad, así como los operadores integrales clásicos.
- Comprender y manejar los fundamentos de la teoría de los espacios de Hilbert.
- Comprender los conceptos básicos de la teoría de operadores entre espacios de Banach. Conocer y manejar los resultados fundamentales de la teoría espectral de operadores compactos.en espacios de Hilbert.
- Conocer los fundamentos de la teoría de distribuciones. Comprender la necesidad y utilidad de la introducción de las distribuciones.
- Idear demostraciones de resutados del análisis real y resolver problemas en el área del análisis matemático y sus aplicaciones.
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otos conocidos y de deducir sus propiedades.
- Formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmar o rehusar estas conjeturas.
Transversales
Las materias de este curso tienen una gran conexión con otras que se imparten en el Grado de Matemáticas. Especialmente con las asignaturas de Análisis Funcional , Análisis Complejo, Ecuaciones en Derivadas Parciales y Procesos Estocásticos. También con la asignatura Análisis Real y Cálculo de variaciones del MASTER de Matemáticas Avanzadas en la UCM.


ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Sesiones de clase teórica donde se desarrolla la materia del curso.
Seminarios
Presentación por parte de los alumnos de algunos temas de la asignatura.
Clases prácticas
Sesiones de resolución de ejercicios y problemas propuestos.
Otras actividades
Tutorías. Exposición de ejercicios y problemas resueltos .

Presenciales

2,4

Semestre

8

Breve descriptor:

Se desarrolla un curso de Analisis Real avanzado, incluyendo: Medidas con signo. Continuidad absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. Derivacipn de medidas e integrales en R^{n}. Funciones maximales. Funciones de variacion acotada y absolutamente continuas. Operadores integrales y convolucion. Espacios de Hilbert. Teoria espectral de operadores compactos. Introduccio teoria de distribuciones.

Requisitos

Es muy recomendable haber cursado ya la asignatura del grado de matemáticas "TEORIA DE LA MEDIDA", o tener conocimientos previos de la Integral de Lebesgue.

Objetivos

- Desarrollar los conceptos y tecnicas baicas de la integracion abstracta, incluyendo las medidas absolutamente continuas y la diferenciacion de medidas. - Estudiar los espacios funcionales L^{p} y su dualidad, asi como los operadores integrales clasicos. - Estudiar los fundamentos de la teoria de los espacios de Hilbert. - Presentar la teoria espectral de operadores compactos. - Presentar una introduccion a la teoria de las distribuciones.

Contenido

- Repaso de integracion abstracta. - Medidas con signo. Continuidad absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. - Funcion maximal de Hardy-Litlewood. Derivacion de medidas e integrales en R^{n}. Teorema de Lebesgue. Puntos de densidad. - Funciones de variacion acotada. Funciones absolutamente continuas. - Espacios L^{p}. Dualidad. - Operadores integrales. Convolucion. - Espacios de Hilbert . Ortogonalidad. Bases Hilbertianas. - Series de Fourier. - Teoria espectral de operadores compactos. - Introduccion a la teoria de distribuciones.

Evaluación

Habrá un examen final de la asignatura, junto con una evaluación continua a lo largo del curso. La NOTA FINAL estará formada por:

- 70% Examen final.
- 30% Presentaciones orales en clase y participación activa en el curso.

Bibliografía

RUDIN: Real and complex analysis. Tercera edición, McGraw-Hill 1988.
FOLLAND: Real Analysis. Second edition , Wiley Interscience 1999
BREZIS: Análisis Funcional. Alianza Editorial, 1986.

Complementaria:

1.-CAROTHERS : Real Analysis. Cambridge University Press 2000
2.-COHN: Measure theory. Birkhauser 1992
3.- LIEB y Loss: Analysis, second edition. AMS, 2001

Estructura

MódulosMaterias
CONTENIDOS AVANZADOS EN MATEMÁTICAS PURA Y APLICADA IIANÁLISIS REAL

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo U28/01/2019 - 17/05/2019LUNES 10:00 - 11:00113JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO
LUNES 11:00 - 12:00113JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO
MARTES 10:00 - 11:00113JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO
JUEVES 10:00 - 11:00112JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO


Exámenes finales
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único examen final - - -JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO