• Álvaro Pelayo, catedrático de Geometría y Topología en la Universidad Complutense de Madrid y académico correspondiente en Matemáticas en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, describe esta innovadora e influyente contribución en la revista Communications in Mathematical Physics, que es de enorme importancia porque extiende la Conjetura de Arnold a sistemas con aleatoriedad.

 

• La ‘Conjetura de Arnold Aleatoria’ dice que si tomas un sistema que conserva ciertas reglas (como mover un mantel sin estirarlo) y lo transformas de manera aleatoria, casi siempre habrá varios puntos que se quedan en el mismo lugar.

 

Madrid, 11 de septiembre de 2025.- La conjetura de Arnold fue enunciada en la década de 1960 por el matemático ruso Vladimir Arnold (1937-2010), inspirado por el trabajo de uno de los grandes genios matemáticos de la historia, Henri Poincaré (1854-1912). A grandes rasgos, esta conjetura establece que en cualquier movimiento hay un mínimo de puntos que bien se mantienen fijos o bien vuelven al mismo punto cuando termina el movimiento. Por ejemplo, de manera muy simplificada, si giras un mantel sobre una mesa redonda, habrá al menos un punto del mantel que no se mueva o que acabe en el mismo sitio en el que estaba antes de que lo movieras. Esta idea tan sorprendente, cuyo enunciado riguroso es extremadamente complejo, ha fascinado a los matemáticos por más de 50 años.

Hace 20 años, los investigadores Álvaro Pelayo y Fraydoun Rezakhanlou entraron contacto en la Universidad de California-Berkeley y tras muchas conversaciones entre ambos en 2009 llegaron a la idea de que la conjetura de Arnold no era sólo importante en geometría sino también en el área de la probabilidad.

La probabilidad está ampliamente presente en nuestra vida cotidiana, no tenemos más que tirar un dado o lanzar una moneda para saber que tenemos un sexto de probabilidad de sacar la tirada que buscamos o el 50% de probabilidad de que salga cara. La geometría simpléctica es un campo de la geometría menos conocida y también es menos intuitiva que la geometría clásica. Mientras que la geometría clásica habla de medidas estáticas (como una distancia); la simpléctica se centra en sistemas en movimiento (dando más importancia, por ejemplo, a la velocidad). Esta geometría simpléctica tiene grandes aplicaciones en física (fue la base que permitió al matemático Edward Belbruno salvar una misión espacial japonesa en 1990), y es donde se enmarca la Conjetura de Arnold.

Construir un puente entre geometría simpléctica y probabilidad resultó complicado ya que había muy poca conexión conocida entre ambas, pero Pelayo y Rezakhanlou continuaron avanzando y dando pequeños pasos hacia el sueño de unir ambas áreas hasta que en 2023 consiguieron probar la importancia de la Conjetura de Arnold en probabilidad y formularon la Conjetura de Arnold Aleatoria. En ella, probaron que para ciertos sistemas simples donde hay componentes aleatorios se pueden encontrar infinitos puntos fijos (los que no cambiaban con un movimiento o deformación) a través de la medición de áreas. 

Este resultado, publicado en 2025 en la revista Communications in Mathematical Physics, es de enorme importancia porque extiende la Conjetura de Arnold a sistemas con aleatoriedad (como una pista de baile donde las parejas se mueven al azar pero terminan en el mismo sitio donde empezaron), y además abre un nuevo enfoque para la investigación conjunta de geometría y probabilidad, dos áreas fundamentales de las matemáticas hasta ahora desconectadas. Como tal, ha recibido el elogio de la comunidad matemática, siendo descargado 1.400 veces (uno de los mayores números en artículos sobre el tema) y descrito por la reseña de la base de datos de la Sociedad Matemática de los Estados Unidos como innovador (a ¨ groundbreaking¨) y como una contribución influyente de un novedoso marco teórico. Este gran avance se ha logrado con el apoyo económico de la Fundación BBVA a través del Proyecto From Integrability to Randomness in Symplectic and Quantum Geometry.

Álvaro Pelayo es catedrático de Geometría y Topología en la Universidad Complutense de Madrid y académico correspondiente en Matemáticas en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Previamente fue catedrático en la Universidad de California San Diego (Estados Unidos). Su investigación, financiada en este país por la National Science Foundation (2007-2020) y actualmente por una de las Ayudas a Proyectos de Investigación Científica de la Fundación BBVA, se centra en la geometría simpléctica y en sus aplicaciones al estudio de los sistemas dinámicos, sobre todo un tipo de sistemas dinámicos conocidos como integrables, y que son fundamentales en la física clásica y cuántica.

 

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