Familiarizarse con la teoría clásica de las ecuaciones en derivadas parciales. Identificar perfectamente las ecuaciones de Laplace, calor, ondas y transporte.

Introducción a la teoría espectral de operadores y la teoría de transformaciones integrales. Obtención y discusión de modelos matemáticos en ciencias naturales.

Resolver el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Resolver los problemas de Cauchy para las ecuaciones del calor y de las ondas. Utilizar, con fluidez, métodos espectrales para resolver problemas de contorno y valor inicial en dominios acotados. Caracterizar el comportamiento cualitativo de las soluciones de las ecuaciones de Laplace, del calor y de las ondas.

Dos horas semanales en promedio. Cubren un total de 1.2 créditos presenciales.

Durante los seminarios se abordará el estudio de cuestiones de naturaleza teórica por parte del alumnado, de la mano del profesor, para que los alumnos aprendan a plantearse problemas matemáticos y a resolverlos utilizando las herramientas técnicas disponibles. En las clases prácticas los estudiantes expondrán en la pizarra ejercicios resueltos propuestos previamente por el Profesor, discutiéndose todas las cuestiones relativas pertinentes. En total corresponden a este apartado 1.2 créditos presenciales.

60 horas presenciales.

2,4

3,6

1

Se explicará el papel central desempeñado por las ecuaciones en derivadas parciales en el avance de la Matemática, en particular, y de las ciencias físicas y de la vida, la economía y la ingeniería, en general. Los temas a desarrollar incluyen los siguientes: Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Problemas de Cauchy para las ecuaciones del calor y de las ondas. Problemas de contorno y valor inicial. Series y transformada de Fourier. Núcleos de Poisson y de Gauss.

Calculo diferencial e integral de varias variables y conocimientos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Introducción a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales adoptando un punto de vista clásico con el objetivo de familiarizarse con ellas, aprendiendo a identificar las ecuaciones de Laplace, del calor y de las ondas y diferenciándolas por el comportamiento cualitativo de sus soluciones. El objetivo principal es que el alumnado comprenda la ingente cantidad de aplicaciones de las ecuaciones en derivadas parciales a la física, las ciencias de la vida y la ingeniería, así como la importante cantidad de resultados matemáticos abstractos que su estudio ha generado a lo largo del siglo XX hasta nuestros días, algunos de los cuales serán abordados en el curso.

1. Introducción: Papel desempeñado por las ecuaciones en derivadas parciales en el desarrollo de la Matemática. Modelización matemática. 2. Leyes de conservación y ecuaciones de primer orden. 3. Series de Fourier y sus aplicaciones a la resolución de ecuaciones de Laplace, del calor y de las ondas. Convergencia de series de Fourier. 4. Teoría del potencial. Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Fórmulas de Green. Núcleo de Poisson. Principio del máximo. Existencia de la función de Green. 5. Transformada de Fourier. Ecuación del calor. Núcleo de Gauss y fórmula de Poisson. Principio del máximo. Unicidad de solución. 6. Ecuación de las ondas. Fórmula de D'Alembert, medias esféricas en el espacio y método del descenso de Hadamard. El orden de los puntos anteriores podrá ser modificado para favorecer una mejor coordinación dentro de cada curso y grado.

Examen final de la asignatura, complementado con la información obtenida mediante posibles controles parciales durante el curso y la participación activa del alumnado en el desarrollo de las clases, que serán concretados en cada curso y grado.

Distinguiremos aqui entre referencias generales y específicas, según se explica a continuación.

Referencias generales:

Son aquellas recomendadas para los dos grados en que se imparte la asignatura.
[1] F. John, Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 1, Springer, New York, 1982.
[2] H. F. Weinberger, A first course in partial differential equations, Dover 1995.

Referencias específicas:

Son aquellas recomendadas específicamente para cada uno de los grados en que se imparte la asignatura.
[3] J. López-Gómez, Elementos de Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja, Pearson, Madrid 2001 (Matemáticas).
[4] P. Puig Adam, Ecuaciones diferenciales, R. Puig Editor, 1980 (Físicas).

Además de los textos anteriores, en el desarrollo de cada curso se suministrará a los alumnos cuanta bibliografía adicional pueda resultarles de utilidad en función de su formación e intereses.