Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2022/2023.

ANÁLISIS REAL Y CÁLCULO DE VARIACIONES - 606162

Curso Académico 2022-23

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Clases prácticas
Trabajos de campo
No
Prácticas clínicas
No
Laboratorios
No
Exposiciones
Presentaciones

Presenciales

7,5

Semestre

9

Breve descriptor:

El curso está dividido en dos partes. La primera parte se desarrolla a lo largo de 7 semanas y está dedicada a presentar algunos conceptos y técnicas fundamentales del Análisis Real. La parte segunda consta en total de 8 semanas y constituyen una introducción al Cálculo de Variaciones y sus aplicaciones, presentando el formalismo lagrangiano así como el formalismo hamiltoniano.

Los contenidos se expondrán en clases teórico-prácticas. La carga docente será de 5 horas semanales, de las cuales, en promedio, 3 se dedicarán a contenidos teóricos y 2 a contenidos prácticos. La metodología del curso fomentará la participación de los alumnos, que podrán realizar presentaciones orales o escritas, así como prácticas y ejercicios.

Requisitos

Es muy recomendable haber cursado el curso de Teoría de la Medida del Grado. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales son un marco de referencia obligada para la segunda parte.

Objetivos

Introducir a los alumnos a las técnicas básicas del Análisis Real y del Cálculo de Variaciones (como metodología casi universal en el tratamiento de modelos matemáticos de la Física, Ingeniería, Economía y otras ciencias).

Contenido

PARTE 1 (35 HORAS)

Profesor: Javier Soria

PROGRAMA

1. Repaso de Integración en espacios de medida.  Teoremas de la convergencia monótona y lema de Fatou: consecuencias. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Medida con densidad. Medida imagen. Medida e integración en espacios producto: Teorema de Fubini-Tonelli.
2. Medidas con signo. Teorema de descomposición de Hahn. Teorema de descomposición de Jordan.  Teorema de Radon-Nikodym.
3. Espacios funcionales: Espacios Lp y dualidad. Espacios de Sobolev y funciones de variación acotada. Teorema de representación de Riesz: funcionales lineales acotados en C(X), medidas regulares y de Radon.
4. Series y transformada de Fourier. Definición y propiedades. Teorema de Plancherel. Aplicación a la demostración del Principio de Incertidumbre. Análisis Armónico en grupos localmente compactos. Medida de Haar: ejemplos y propiedades.

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PARTE 2 (40 HORAS)

Profesora: Rosa María Pardo

PROGRAMA.

1. Introducción. Principio de mínima acción. Ejemplos: superficie mínima de revolución. Braquistócrona. Introducción a la ecuación de Euler-Lagrange del Cálculo de Variaciones. Problemas variacionales en dimensión finita.
2. Introducción a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Ecuaciones de Euler-Lagrange. Ecuaciones de Hamilton.
3. Cálculo de variaciones para EDP. Primera variación, ecuación de Euler-Lagrange. Segunda variación.
4. Existencia de minimizadores. Coercitividad, semicontinuidad inferior. Convexidad
5. Soluciones débiles de la ecuación de Euler-Lagrange. Ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas de EDP. Existencia de minimizadores para sistemas de EDP.
6. Regularidad. Estimaciones para las segundas derivadas.
7.  Problemas variacionales con restricciones. Multiplicadores de Lagrange. Problemas de autovalores no-lineales. Formulación variacional de problemas elípticos semi-lineales.
8. Puntos críticos. Lema del paso de la Montaña. Aplicación a EDP semilineales.
9. Resultados de no existencia de soluciones. Fenómenos de Explosión (Blow-up) en tiempo finito. Identidad de Pohozaev.

Apéndice: Soluciones débiles. Espacios de Sobolev. Dominios suaves y dominios Lipschitz Valores en la frontera. Teoría de Trazas. Inmersiones de Sobolev Compacidad de las Inmersiones de Sobolev.

Evaluación

PARTE 1. Prueba escrita en la que se calificarán los aspectos conceptuales básicos adquiridos, la capacidad de análisis, así como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos. Se complementará con la participación del alumno en clase.

PARTE 2. La evaluación de esta parte se realizará partir de la calificación de un examen final escrito y una exposición oral. La asistencia y participación en clase, así como el interés por la materia, se tendrá en cuenta a la hora de asignar la calificación.

- Prueba escrita: 70% del total.
- Evaluación continua (con exposición oral): 30% del total.

La nota final del curso será el promedio ponderado de la calificación de ambas partes.

Bibliografía

PARTE 1:

- J. Cerdà. Análisis Real. Edic. Universidad de Barcelona, 1996. ISBN 978-8-4922-0042-9
- D. L. Cohn. Measure Theory. Springer, 1980. ISBN 978-1-4899-0401-0
- G. B. Folland. Real Analysis. Wiley, 1984. ISBN 978-0-4713-1716-6


PARTE 2.

- Bernard Dacorogna. Introduction to the calculus of variations. Imperial College Press, London, third edition, 2015. ISBN 978-1-78326-551-0.
- Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010. ISBN 978-0-8218-4974-3.

Apéndice

- Haim Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. ISBN 978-0-387-70913-0.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único05/09/2022 - 16/12/2022LUNES 13:00 - 15:00-FRANCISCO JAVIER SORIA DE DIEGO
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
JUEVES 13:00 - 15:00-FRANCISCO JAVIER SORIA DE DIEGO
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
VIERNES 10:00 - 11:00-FRANCISCO JAVIER SORIA DE DIEGO
ROSA MARIA PARDO SAN GIL