Urtzi Buijs y Miriam González. Dino, Zenodoro, Steiner y la perrita Emmy.
Boletín del IMI, Nº 85 (13 Abr. 2023), Sección "1+400. Divulgación con 1 imagen y 400 palabras."
https://doi.org/10.57037/b-imi.00085.1mas400

No parece una tarea muy difícil encontrar la curva cerrada del plano que con perímetro dado encierre la mayor área. En cuanto se hacen unas cuantas pruebas, rectángulo, cuadrado, pentágono… la circunferencia se postula como la gran candidata a solución del problema isoperimétrico. Pero, ¿lo es?

Virgilio relata en la Eneida cómo la ingeniosa reina Dido funda Cartago ayudada por la geometría. El rey Jarbas le había prometido todo el terreno a lo largo de la línea de la costa que pudiese abarcar con la piel de un buey. El soberano le hizo tan “generoso” ofrecimiento con la intención de cederle el mínimo terreno, pero Dido lo maximizó con astucia. Hizo cortar en tiras muy finas la piel del animal para confeccionar un hilo muy largo con el que dibujó una semicircunferencia. En ese espacio fundó la famosa ciudad fenicia.

Ya le hubiera gustado a la hipótesis de Riemann comenzar de una forma tan hermosa y no como un comentario en un breve artículo. Al igual que esta hipótesis suscita un gran interés en nuestros días, el problema isoperimétrico lo hizo desde la antigüedad hasta el siglo XIX.

En la antigua Grecia el problema se asocia a Zenodoro. Su tratado Sobre las figuras isoperimétricas se perdió y solo lo conocemos por referencias. Zenodoro llega a la conclusión de que el área del círculo es mayor que la de cualquier polígono que tenga el mismo perímetro, pero en su demostración comete un error que no se subsana hasta mucho después.

La lista de matemáticos que intentan resolver problemas isoperimétricos es extensa: Galileo, los hermanos Bernoulli, Euler, Legendre, …

Pero es el suizo Jakob Steiner el matemático que aparece más íntimamente ligado al problema isoperimétrico. Por un lado, arregla el fallo de Zenodoro y por otro da una elegantísima e inteligente demostración geométrica del problema. Pero incompleta porque ¡no probaba la existencia de la solución! Esto le trajo no pocos disgustos.

Hubo que esperar a que Weierstrass encontrase una solución completa y rigurosa en la que utilizaba cálculo de variaciones.

El problema isoperimétrico se generaliza en el espacio con solución la esfera, que es equivalente a decir que para un volumen fijo la superficie mínima que lo encierra es una esfera. Así que, cuando hace frío, nuestra perrita que tiene un volumen fijo, para perder menos calor minimiza su área de contacto con el exterior enroscándose hasta convertirse en una esfera.