Boletín del IMI

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Enraizarte
Luis Rández
IUMA-Universidad de Zaragoza

Hay que remontarse a la antigua Babilonia alrededor del año 1800 a.C. para encontrar la primera aparición de la raíz cuadrada y de un conjunto de tuplas pitagóricas en unas tablillas de arcilla. La primera, YBC 7243, muestra una aproximación de raíz de dos en base sexagesimal con seis dígitos exactos y en la segunda, PLIMTON 322, se encuentran quince tuplas pitagóricas. El algoritmo que empleaban se conoce hoy con el nombre de método de Newton-Raphson. También los egipcios aproximaban raíces cuadradas empleando el algoritmo de Regula Falsi y fracciones unitarias (con numerador unidad). También se sabe que utilizaban una cuerda con 12 anillas que formaban un triángulo rectángulo (3-4-5) para la construcción de ángulos rectos. Aunque a Pitágoras, 550 a.C. se le atribuye este teorema, es conocida su demostración en varias culturas. James Garfield (1831-1881), presidente de los EE.UU. dió una demostración original y comentar que este teorema está en un medallón de la fachada principal del paraninfo de la Universidad de Zaragoza.

En 1525, Christoph Rudolff empleó el símbolo √ para denotar la raíz cuadrada, quizás queriendo representar una r minúscula, por su etimología del latín radix. Más tarde René Descartes (1635) añadió la barra horizontal y en el año 1777 Leonhard Euler definió la raíz cuadrada de -1.

Podemos ver que la raíz cuadrada de dos aparece de manera natural en los formatos de hojas DIN A*. En música, las doce notas de la escala temperada están en proporción geométrica de razón raíz doce de 2, y éste valor se halla en el cálculo de la posición de los trastes de una guitarra desde la cejuela. Es posible encontrar proporciones relacionadas con raíz de dos, raíz de tres y por supuesto la proporción áurea en numerosas obras artísticas.

En cuanto al cálculo de la raíz cuadrada de un número, Arquímedes (287 a.C.-212 a.C.) para aproximar π, determinó que raíz de 3 estaba en el intervalo (265/153,1351/780), y que, a día de hoy, se desconoce como lo hizo. Los primeros algoritmos implementados en el ordenador ENIAC se basaban en que la suma de los primeros n números impares es n². Entre los numerosos métodos para el cálculo de la raíz cuadrada, destacar el algoritmo CORDIC (Coordinate Rotation Digital Computer) y el curioso Fast Inverse Root que aproxima el inverso de la raíz cuadrada de un número y que está implementado en juegos de ordenador, como QUAKE.

Crockett Johnson, Square root of two (1965)