Estudios realizados dentro de este tema de investigación

• Uso del variograma para determinar el ruido en cámaras CCD

• Uso del variograma para la determinación de la desviación estándar en microscopios topográficos

• Uso del variograma para la determinación del contraste en señales pseudoperiódicas

• Comparación del krigeado con técnicas estándar de muestreo

• Determinación de la frecuencia de muestreo óptimo en imágenes en función del ruido

• Análisis del krigeado como proceso de convolución para medidas equimuestreadas

• Análisis del error en la estimación como proceso de convolución para medidas equimuestreadas

Análisis de esta línea de investigación

El krigeado (en inglés Kriging) es una familia de métodos lineales para la estimación de cantidades con dependencia espacial y su varianza que son óptimos en el sentido de los mínimos cuadrados. El krigeado se ha desarrollado fundamentalmente las Ciencias de la tierra, medicina, geología, biología, etc. para aquellos caso de que las observaciones presenten ruido, estén irregularmente distribuidas y su número no sea excesivamente grande. Esta técnica también es de gran utilidad en el caso de la Física y, en particular, la Óptica donde hemos aplicado satisfactoriamente esta técnica en procesamiento de imágenes . La ventaja fundamental del krigeado respecto a otras técnicas es que utiliza las correlaciones espaciales de la cantidad medida para reducir el ruido en las estimaciones. Además, el krigeado permite la determinación de la incertidumbre asociada a la medición. Para un gran número de observaciones el krigeado no es viable puesto que requiere la resolución de inversas de matrices con un tamaño igual al número de observaciones. Hemos demostrado que las ecuaciones del krigeado, para el caso de medidas regularmente distribuidas, se puede transformar en un proceso de convolución, tanto para la estimación de la cantidad medida como de la incertidumbre.

Variograma

Variograma como técnica de análisis de la incertidumbre en imágenes y en metrología

El krigeado utiliza el variograma como una medida de la correlación espacial, que se define como

Asimismo, además de en el krigeado, he utilizado el variograma para la determinación de la incertidumbre en cantidades con dependencia espacial, como

• Determinación de la desviación estándar en cámaras CCD

• Incertidumbre con la medida en microscopía 3D (confocal, fuerza atómica)

• Método sencillo y robusto para el cálculo del contraste en señales pseudo-periódicas.

La medida estándar de de la desviación estándar no es válida para una cantidad con dependencia espacial puesto que la variación espacial se introduce también en el cálculo. He demostrado que una estimación más aceptable que elimina dicha dependencia espacial es el variograma en el origen, que se define como

Determinación de la desviación estándar en cámaras CCD

Debido a ello hemos utilizado la técnica para determinar la desviación estándar en cámaras CCD. Normalmente se utiliza una iluminación lo más uniforme posible, pero siempre existe una pequeña variabilidad.

a) Montaje experimental para la determinación de la desviación típica de un cámara CCD b) imagen obtenida y c) cálculo de la desviación estándar con el variograma. Con la técnica estándar resulta 2.5 niveles de gris, mientras que con el variograma resulta 1.1niveles de gris.

Incertidumbre con la medida en microscopía 3D

En microscopía 3D resulta un caso similar. Para medir la desviación estándar de un equipo se necesitan superficies calibradas de gran planitud. Sin embargo los modernos equipos presentan sensibilidades del orden del 1 nm, por lo que a estos niveles las superficies presentan siempre una cierta topografía (nivel requerido λ/500). Con la técnica del variograma hemos visto que el error se puede medir en cualquier imagen, por lo que no sería necesario ninguna calibración del dispositivo: se puede obtener de cada imagen.

a) Imagen de un cilindro metálico y dos líneas que se han utilizado para medir la incertidumbre b) incertidumbre obtenida en una superficie plana y para las dos líneas.

Medida del contraste en señales pseudoperiódicas

La medida experimental del contraste de señales pseudoperiódicas es un tema gran importancia en algunas aplicaciones como en codificación óptica, procesado de franjas, etc. La definición clásica del contraste, definida como

donde Imax es la intensidad máxima e Imin es la intensidad mínima en la señal. Dicha estimación del contraste es perturbada de forma importante por el ruido que puede presentar la señal, así como por pequeñas inhomogeneidades experimentales. Hemos desarrollado una técnica robusta basada en el variograma para dicha medida experimental. A partir de un análisis teórico vemos que el contraste se puede definir a partir del variograma como

donde p es el periodo de la señal. En realidad no es necesario calcular dicha posición, pues pueden existir también variaciones en el periodo, sino que se puede computar a partir del máximo del variograma. Hemos realizado simulaciones comparando diversos métodos estándar, viendo que la técnica propuesta es mucho más robusta.

Comparación de la técnica del variograma con otras técnicas estándar para el cálculo del contraste

Krigeado

Krigeado como técnica de estimación espacial

Cuando se obtienen datos experimentales de una cantidad que tiene una dependencia espacial, no es posible en principio, saber nada de dicha cantidad en posiciones donde no se ha medido. Para ello es necesario realizar suposiciones sobre la correlación espacial de la cantidad medida. También es necesario asignar una incertidumbre a al valor estimado. Dicha incertidumbre será mayor cuanto más separados estamos de la posiciones donde están ubicados los dispositivos de medida.

El krigeado es una técnica óptima de estimación de cantidades con dependencia espacial óptima en el sentido de los mínimos cuadrados. Considera para la estimación la correlación espacial a través del variograma y presenta las siguientes características:

• No es necesario ajustar las medidas a ningún modelo previo

• Utiliza la correlación espacial para filtrar el ruido

• Permite calcular el ruido mediante el variograma

• Permite incluir la resolución de los dispositivos de medida

• Las medidas no tienen que por estar regularmente distribuidas

• Permite el determinar la incertidumbre en la estimación de una forma local

En las siguientes gráficas se muestran algunos ejemplos de estimación con el krigeado, así como el cálculo de la incertidumbre asociada.

a) Cantidad sin dependencia espacial (constante salvo ruido aleatorio). Las bandas en los puntos representan la resolución de los dispositivos de medida. b) incertidumbre obtenida, desviación estándar del rudo y resolución de los dispositivos de medida

Cantidad periódica con un fuerte ruido aleatorio gaussiano.

Extrapolación. La incertidumbre crece fuertemente en los bordes

Medidas irregularmente distribuidas

Medidas regularmente distribuidas excepto en un punto donde se han realizado 10 observaciones. En esta ubicación y en los alrededores la incertidumbre decrece fuertemente.

Krigeado como método de convolución: comparación con WKS

Para procesamiento de imágenes la técnica del krigeado no es válida, pues requiere de la resolución de inversas de matrices con un tamaño igual al número de datos. Las cámaras CCD bidimensionales tienen valores del orden de 1000x1000 píxeles por lo que se hace inviable dicha técnica. He demostrado que el krigeado se comporta como un filtro de convolución, cuya forma depende de varios factores como la correlación espacial, el ruido y la frecuencia de muestreo. Por ello, una vez calculado dicho kernel de convolución, el krigeado se puede aplicar al procesamiento de imágenes.

Kernels de convolución para la estimación. En la secuencia, se incluye un ruido aleatorio gaussiano, por lo que el kernel de convolución se suaviza.

Uno de los primeros estudios que hemos realizado es analizar cómo se comporta el krigeado en el caso de muestreos regulares y hemos comparado dicha técnica con la clásica de Whittakers-Kotel’nikov-Shannon (WKS). Dicha técnica es exacta siempre que la señal no presente ruido y la frecuencia de muestreo sea mayor que 2 veces la frecuencia máxima de la señal. Se puede ver el krigeado como una generalización del teorema WKS para el caso de señales con ruido. Como se muestra en las siguientes figuras el error depende tanto de la frecuencia de muestreo como del ruido presente en la señal. Cuando el ruido es nulo el krigeado produce unos resultados similares al teorema WKS, aunque la incertidumbre es continua con la frecuencia. Sin embargo, al aumentar el ruido, la incertidumbre también es mayor. También se observa que la incertidumbre decrece con la frecuencia.

Incertidumbre obtenida con el krigeado en función de la frecuencia de muestreo y del ruido de la señal.

Incertidumbre determinada como una convolución

Otro asunto de igual importancia que merece ser estudiado es cómo se comporta la incertidumbre en este caso de medidas regularmente distribuidas. Utilizando la forma tradicional del cálculo de la incertidumbre hemos realizado una generalización para el caso de magnitudes con dependencia espacial, modificando el significado de N, número de observaciones, pasando a tener una dependencia espacial

Comparando la incertidumbre obtenida por el krigeado con una única observación con esta ecuación obtenemos el valor de N(x), que denominamos medida distribuida, DM(x)

Esta función es la unidad cuando h=0, es decir, en la posición del dispositivo de medida y disminuye su valor con la distancia, suponiendo que también lo hace la correlación espacial. Si asumimos la existencia de linealidad cuando existen varias observaciones. Entonces, mediante una simple inversión obtenemos que la incertidumbre resulta

a) Kernel de convolución para la incertidumbre DM(x) y b) Incertidumbre calculada mediante convolución (negrita), mediante kriging (-.-.) y real cuando se compara con una simulación de incertidumbre conocida (continua).