Manejo de extensiones algebraicas de cuerpos. Manejo de cuerpos finitos.
Manejo de los grupos finitos de orden pequeño que aparecen en la teoría de resolución de ecuaciones.
Cálculo de los grupos de Galois de ecuaciones de grado pequeño.
Manejo de las distintas extensiones de cuerpos.
Resolución de ecuaciones polinómicas por radicales

Si

1 hora semanal de resolución de problemas por parte del profesor.

Si

Introduccion a la teoria de cuerpos y la teoria de Galois

Ser capaces de aprender los conceptos basicos de la teoria de cuerpos y de la teoria de Galois.

1. Polinomios en varias variables. Las funciones simetricas elementales. Formulas de Cardano. Polinomios simetricos: teorema fundamental. Resultante y discriminante. 2. Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas y trascendentes. Cuerpo de descomposicion; existencia y unicidad. Teorema del elemento primitivo. 3. Cuerpos finitos: elementos primitivos. El cuerpo de p^n elementos esta formado por las raices del polinomio t^{p^n}-t. 4. Grupo de Galois de una extension finita. Las extensiones de Galois son los cuerpos de descomposicion. Teorema fundamental de la teoria de Galois. 5. Grupos resolubles y extensiones radicales. Teorema de Abel-Galois: Un polinomio es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble. 6. Grupo de Galois de los polinomios t^n-a, de los polinomios ciclotomicos y de los polinomios de grado 2, 3 y 4. El problema inverso: el grupo simetrico S_p y los grupos ciclicos finitos como grupos de Galois sobre Q. La ecuacion general de grado n.

En la fecha en que se redacta esta ficha docente no es posible predecir si se podrán realizar docencia presencial y/o exámenes presenciales de la asignatura. Esto hace difícil plasmar un modo unificado de evaluación para todos los profesores, que deberán adecuar su docencia y la evaluación a las circunstancias que se vayan encontrando. Para obtener información suficiente acerca del aprovechamiento de cada alumno los profesores de esta asignatura realizarán exámenes que se podrán ser en la facultad o a distancia, y propondrán otras actividades académicas (resolución de ejercicios, trabajos, ponderación de las participaciones acertadas en clase, …) que al menos supondrán un 20% de la calificación final y que pudieran llegar a constituir el 100% de la misma, para aquellos alumnos que superen la asignatura de esta forma, si las circunstancias sanitarias así lo aconsejan.

D.A. Cox: Galois Theory, Wiley, 2004.

J.F. Fernando, J.M Gamboa: Ecuaciones Algebraicas. Extensiones de cuerpos y teoría de Galois. Editorial Sanz y Torres. Pendiente de publicación (previsto septiembre 2015), Madrid: 2015.

I. Stewart: Galois Theory, Chapman & Hall, 2003.

Bibliografia complementaria:
E. Artin: Galois Theory, Notre Dame, 1942 (Dover, 1998).
F. Delgado, C. Fuertes, S. Xambo, Introducción al Algebra, vol. 1,2 y 3, Univ. de Valladolid, 2000.
J.M. Gamboa, J.M Ruiz, Anillos y cuerpos conmutativos, 3a edición, Cuadernos de la UNED, 2000.
T.W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73, Springer¿Verlag, 1974.
R. Lidl - H. Niederreiter: Intro to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 3º edition (2000).
K. Spindler: Abstract Algebra with Applications, Marcel Dekker, 1994.
J. P. Tignol: Galois Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2001.