TÍTULO DEL PROYECTO: GEOMETRÍA REAL (GEOR)

NÚMERO DEL CONTRATO ACTUAL: MTM2011-22435 (Período : 2012-2014)

INVESTIGADOR PRINCIPAL: JOSÉ FRANCISCO FERNANDO GALVÁN

MIEMBROS DEL PROYECTO (UCM): JESÚS M. RUIZ SANCHO, JOSÉ MANUEL GAMBOA MUTUBERRÍA, CARLOS ANDRADAS HERANZ, JOSÉ JAVIER ETAYO GORDEJUELA, MARÍA EMILIA ALONSO, ANTONIO DÍAZ CANO-OCAÑA, ELÍAS BARO GONZÁLEZ, ADRIÁN BACELO POLO.

MIEMBROS EXTERNOS DEL PROYECTO: MARGARITA OTERO (UAM), FABRIZIO BROGLIA, FRANCESCA ACQUISTAPACE, HENRI LOMBARDI, ANA GARCÍA LECUONA.

OTROS COLABORADORES (UCM, UAM, NEBRIJA): CARLOS UENO JACUE, MARÍA JESUS DE LA PUENTE MUÑOZ, MARÍA ÁNGELEZ ZURRO MORO, PILAR VELEZ MELÓN, ROSARIO RUBIO SAN MIGUEL.

RESUMEN. La Geometría Real estudia muchos de los objetos y las estructuras que surgen al modelar matemáticamente los fenómenos físicos y tecnológicos, es decir, estudia aquellos objetos que se pueden describir utilizando igualdades y desigualdades de funciones con valores reales (polinómicas, de Nash, analíticas, diferenciables, semialgebraicas, constructibles, etc). Esta disciplina también involucra la construcción y desarrollo de las estructuras adecuadas para analizar esos objetos, así como los métodos computacionales pertinentes: algoritmos, complejidad y constructibilidad. Actualmente estamos desarrollando las siguientes líneas de: "Anillos de funciones semialgebraicas", "O-minimalidad", "Imágenes polinómicas, regulares y Nash de R^n", "Geometría analítica real", "Curvas algebraicas reales", "Sumas de cuadrados y Teoría de nudos" y "Constructibilidad y Algoritmos".

Atendiendo a los objetos estudiados, los problemas abordados y las técnicas utilizadas, nuestra actividad se enmarca dentro de la disciplina Geometría Algebraica y Analítica Real (MSC: 14Pxx). Dicha disciplina se desarrolla desde hace más de 40 años por grupos de investigación consolidados tanto en Europa como en Norteamérica y por investigadores independientes en otros países (como Japón, Brasil, Chile, etc.). Cabe destacar la colaboración estrecha y fructífera entre los distintos grupos.

Los principales objetivos que estamos desarrollando en el periodo 2012-2014 son los siguientes:

• Anillos de funciones semialgebraicas. Clasificación de conjuntos semialgebraicos, compactificación de Stone-Cech semialgebraica, el espectro de Zariski semialgebraico, desigualdades de Lojasiewicz.

• o-minimalidad. Grupos definibles en estructuras o-minimales, grupos abelianos definiblemente compactos, grupos de rango de Morley finito.

• Geometría Analítica Real. Geometría real en superficies analíticas no coherentes. El problema 17 de Hilbert en R^n: fórmulas multiplicativas y reducción al caso irreducible.

• Imágenes polinómicas, regulares y Nash de R^n. Condiciones acerca de la frontera y los puntos de infinito de las imágenes polinómicas y regulares de R^n. Caracterización de los conjuntos semialgebraicos que son imagen Nash de R^n.

• Aplicaciones de las sumas de cuadrados.

(A) Sumas de cuadrados enteras y sus relaciones con la teoría de nudos y cubiertas.

(B) Optimización de polinomios sobre conjuntos semialgebraicos.

• Curvas algebraicas reales. Formas reales de una curva compleja, moduli de curvas reales, género real y género imaginario de grupos finitos, acciones de grupos finitos sobre superficies de Belyi.

• Constructibilidad y Algoritmos. Álgebra constructiva y métodos dinámicos, cotas elementalmente recursivas, estabilidad en cálculo simbólico.