Problemas propuestos en el XX Concurso

 

 

PRIMER NIVEL

 

 

PROBLEMA 1º:

Dos velas de igual longitud y distinto grosor tardan 4 horas una y 3 horas la otra, en consumirse totalmente. Si las encendemos al mismo tiempo y el consumo de cada vela es uniforme,  ¿al cabo de cuánto tiempo la longitud de una vela será el doble que el de la otra?  

 

PROBLEMA 2º:

Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Si la longitud de una de las tres alturas del triángulo es 60,  ¿cuál es el mayor valor posible para el área de dicho triángulo?

 

PROBLEMA 3º:

Ordenados los 225 primeros números enteros positivos como se indica en el diagrama, escogemos 15 de manera que haya sólo uno de cada fila y  uno de cada columna. ¿Cuáles son todas las posibles sumas de todas las elecciones posibles?

                                    1      2      3     … …     15

                                    16    17    18    … …     30

                                    31    32    33    … …     45

                                    ……………………………

                                    ……………………………

                                    211  212  213   … …    225

 

PROBLEMA 4º:

En la tienda de la esquina venden chocolatinas de nueces y con leche. Una chocolatina de nueces es 6 céntimos más cara que una con leche. Celia tiene 8 euros y 22 céntimos, con los que compra dos chocolatinas para cada uno de sus nueve amigos, sin que le sobre ni falte dinero, y le regala chocolatinas distintas al mayor número posible de ellos. ¿Qué precio, en céntimos, tiene una chocolatina con leche, sabiendo que no hay fracciones de céntimo?

 

 

SEGUNDO NIVEL

 

 

PROBLEMA 1º:

Encuentra todos los términos de la progresión aritmética 1, 7, 13, 19, … , que sean cuadrados perfectos.

 

PROBLEMA 2º:

En un semicírculo colocamos dos semicírculos iguales y un círculo pequeño como se indica en la figura, es decir, el círculo pequeño es tangente al semicírculo grande y a los dos semicírculos, que a su vez son tangentes entre sí y tangentes al semicírculo grande. Si el área sombreada es 45p, calcula el radio del círculo pequeño.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PROBLEMA 3º:

En una bolsa hay 100 bolas numeradas  1, 2, 3, … 100.  Elegimos al azar una, anotamos su número, la volvemos a meter y elegimos otra anotando también su número. Si el primer número anotado es a y el segundo es b, formaremos el número T = 3a + 7b.

¿Cuál es la probabilidad de que T acabe en 8 ?

 

PROBLEMA 4º:

En un triángulo ABC, se sabe que AB = AC y que ang(BAC) = 30º. Se elige un punto P en la mediana AD y u punto Q en el lado AB (Q distinto de B), de modo que PC = PQ.  Determinar el ángulo PQC.

 

 

TERCER NIVEL

 

 

PROBLEMA 1º

En un triángulo isósceles ABC con ángulo desigual A, sabemos que

                                                cos A = 1/3 .

Si P y Q son los puntos que dividen el lado BC en tres partes iguales, calcula el coseno del ángulo PAQ.

 

PROBLEMA 2º:

Sea  x  un número positivo. Representaremos por  [x] la parte entera de x , y por <x> la parte decimal de  x .

Así, por ejemplo, [2,87] = 2  y <1,31> = 0,31.

Encuentra el único número positivo x para el que los números <x>, [x] y x están en progresión geométrica.

 

PROBLEMA 3º:

Sea AVB un triángulo isósceles, siendo V el vértice distinto de los otros dos. Sobre el lado VA, en el sentido de V a A , se toman, en ese orden, puntos P, Q  y  M . Ocurre que las longitudes señaladas son

                        VP = PC = CQ = QD = DM = MA = AB .

Calcular la medida de los ángulos del triángulo. 

 

PROBLEMA 4º:

Se da un número real positivo,  a . Estudiar si se puede asegurar que alguno de los números  a ,  1-2a,  a(1-2a)  es menor que 0,11  ¿Y que 0,12? ¿Y que 0,13?