IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA POR EQUIPOS (45 minutos)

1.- A un número de 3 cifras le damos la vuelta, es decir, intercambiamos las cifras de las unidades y la de las centenas, resultando un número mayor, que multiplicado por el original, da 65125. ¿Cuál era el número original?

2.- El periodo de vida de una ballena es cuatro veces el de una cigüeña, la cual vive 85 años más que un conejillo de indias, que vive 6 años menos que un buey, el cual vive 9 años menos que un caballo, que vive 12 años más que un pollo, que vive 282 años menos que un elefante, que vive 283 años más que un perro, que vive 2 años más que un gato, que vive 135 años menos que una carpa, que vive el doble de un camello, que vive 1014 años menos que el total de los periodos de vida de todos estos animales. ¿Cuánto vive un caballo?

3.- Si el resto de las divisiones de 1059, 1417, y 2312 entre el entero “d ”, mayor que 1, es siempre el mismo, calcula d.

4.- Encuentra todos los números enteros m y n tales que mn(m – n) = 45045.

5.- ¿Cuántos números hay que sean cuadrados perfectos y divisores de 7200?.

6.- Al intentar resolver la inecuación , copié mal el enunciado del problema y en lugar de 5 escribí otro entero positivo. Si mi respuesta a la inecuación fue 2 < x < 4, ¿cuál fue el entero positivo que puse en lugar de 5 en el enunciado?

7.- Calcular la probabilidad de que al tirar 3 dados idénticos (con caras de 1 a 6) se obtengan 3 enteros consecutivos.

8.- Determina todas las listas de 5 números que formen a la vez progresión aritmética y progresión geométrica.

9.- Si las raíces de la ecuación x² + px + q = 0 son los cubos de las raíces de la ecuación x² + mx + n = 0, expresa p y q en términos de m y n.

10.- En el triángulo ABC de área 20, AB = 6, BC = 9, BD es la bisectriz del ángulo y M es el punto medio del segmento BD. Calcula el área del triángulo ABM

IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA INDIVIDUAL Primer ciclo de E.S.O. (90 minutos)

1. En el cuadrado de la figura 1, de 100 cm de lado, el punto O es el centro del mismo y el área de la zona sombreada es la quinta parte del área del cuadrado. Calcular la longitud del segmento DE.

Figura 1 Figura 2

2. Los hexágonos de la figura 2 son regulares. Calcula el cociente entre el área del hexágono pequeño y el área del grande.

3. Las secantes CDE y EBA a la circunferencia de la figura, centrada en O, la cortan de forma que AB es un diámetro y CD una cuerda de dicha circunferencia. Si AB = 2 DE y el ángulo AEC es de 18º, calcula la medida del ángulo COA.

(Recuerda: el vértice en la letra del medio)

4. ¿ Cuál es el mayor divisor de 2¹⁴ – 1 distinto de él mismo?

5. Calcula la suma de los 120 números de 5 cifras, no repetidas, que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5.

IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA INDIVIDUAL Segundo ciclo de E.S.O. (90 minutos)

1. El rectángulo PQRS está inscrito en el rectángulo ABCD como se indica en la figura (que no está hecha a escala). Si DR = 3, RP = 13 y PA = 8, calcula el área del rectángulo ABCD

2. A ambas orillas de un río de 40 metros de ancho hay dos palmeras, una frente a la otra. La altura de las palmeras son 8 y 12 metros. En la parte más alta de cada palmera se encuentran sendos pájaros que súbitamente descubren un pez en la superficie del agua entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y con la misma velocidad, alcanzando el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del pié de la palmera más alta apareció el pez?

3. Si , calcula (x + 1)⁴

4. Hay un único valor real de x para el que la mediana y la media aritmética de los cinco números 4, 2, 16, 6 y x son iguales. Calcula ese valor.

5. En el cuadrado ABCD de la figura hemos trazado dos semicircunferencias exteriores, una con diámetro AB y otra con diámetro AD. El punto A divide al segmento PQ en dos segmentos de longitudes 7 y 23. Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado

IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA INDIVIDUAL Bachillerato (90 minutos)

1. Halla todos los números racionales m tales que sea entero.

2. Elegimos un número de 6 cifras de entre los formados utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 una vez cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que un trozo de ese número sea 456?

3. Si x, y, z son números distintos y las ternas (x, y, z) y (x³, y³, z³) forman progresión aritmética, calcula el número y.

4. Un triángulo isósceles de lados 5, 5 y 6, está inscrito en una circunferencia. Calcula el radio de ésta.

5. En una progresión aritmética creciente, la diferencia es un número entero. Si el tercer término a₃ es 4 y para un cierto n es a_n-2 = 9, calcula a_n + 2n.

IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA POR RELEVOS (45 minutos)

1^er Ciclo de ESO.-

1A.- La circunferencia de la figura 1, tangente a dos lados del cuadrado de lado 9, tiene de radio 2. Expresa el área sombreada como T + Qp donde T y Q son números enteros y pásale el número T a tu compañero de Bachillerato. (Atención: La esquinita de la parte superior derecha no está sombreada):

Figura 1 Figura 2

1B.- Sea "T" la respuesta del problema 2B. En la figura 2 que te mostramos, E es el punto medio de AB y F el punto medio de AD. Si el área del cuadrilátero FAEC es T unidades cuadradas, calcula el área del cuadrilátero ABCD y pásale la respuesta a tu compañero de Bachillerato.

1C.- Sea "T" la respuesta del problema 2C. Un número entero de T cifras, en el que las dos cifras de los extremos son iguales, llamémoslas A, y todas las demás también son iguales entre sí, llamémoslas B, es múltiplo de 7. Calcula el mayor valor posible para A + B.

IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA POR RELEVOS (45 minutos)

2º Ciclo de ESO.-

2A.- Sea “T” la respuesta del problema 3A. En la figura adjunta el triángulo ABC es equilátero, de lado 20. PQ es paralela a BC, RS es paralela a AC y QR es paralela a AB. Si SR + RQ + QP = , calcula PS.

2B.- Encuentra el mayor entero x tal que y pásale la respuesta a tu compañero de primer ciclo.

2C.- Sea "T" la respuesta del problema 3C. Las rectas AB y CE son tangentes comunes a las dos circunferencias de la figura. Si AB = T y AE = 2 EB, calcula CD y pásale la respuesta a tu compañero de primer ciclo.

IV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

20 de noviembre de 2004

PRUEBA POR RELEVOS (45 minutos)

Bachillerato.-

3A .- Sea “T” la respuesta del problema 1A. En el triángulo ABC de la figura, la mediana BM = 29. La perpendicular desde C a la prolongación de BM corta a ésta en R. Si CR = , calcula el área del triángulo ABC y pásale la respuesta a tu compañero de 2º ciclo.

3B .- Sea “T” la respuesta del problema 1B y . Calcula el número positivo x tal que

3C .- Partiendo de su casa , un hombre camina en línea recta 9 km al Este, luego 7 km al norte, después 3 km al Este y finalmente x km al Sur, encontrándose entonces a 13 km de su casa. Si se considera el terreno totalmente plano, calcula todos los valores posibles de x y pásale el mayor a tu compañero de 2º ciclo.